14.例谈圆锥曲线中面积问题的解决策略-2020年3月刊高中自主招生《中学生数理化》

例谈圆锥曲线中面积问题的解决策略 ■杨子棉 直线与圆锥曲线的综合问题,主要是以直 线与圆锥曲线的位置关系为载体,考查直线过 定点及动点在定直线上的定值、最值问题,求 轨迹问题,以及探索性问题等。面积是此类题 目常常涉及的一个考查点,也是高考的热点之 一。圆锥曲线中涉及的面积问题主要有求三 角形面积的最值及范围、多个图形面积的关系 转化、面积的拆分等。 1.通用公式:S△ABM= 1 2|AB| ·d(其中 |AB|为弦长,d 为顶点M 到直线l的距离)。 例1 已知点A(0,-2),椭圆E: x2 a2+ y2 b2= 1(a>b>0)的离心率为 3 2 ,F 是椭圆E 的右焦 点,直线AF的斜率为 23 3 ,O为坐标原点。 (1)求E 的方程。 (2)设过点A 的动直线l与E 相交于P,Q 两点。当△OPQ 的面积最大时,求l的方程。 解:(1)E 的方程为 x2 4+y 2=1。(过程略) (2)依题意知直线l的斜率存在,设l: y=kx-2,点P(x1,y1),点Q(x2,y2)。由 y=kx-2, x2 4+y 2=1,{ 得(1+4k2)x2-16kx+12=0。 依题意得Δ=16(4k2-3)>0,即k2> 3 4 ,且 x1= 8k+2 4k2-3 4k2+1 ,x2= 8k-2 4k2-3 4k2+1 。 所 以 PQ = k2+1 x1-x2 = 4 k2+1· 4k2-3 4k2+1 。又 点 O 到 直 线 PQ 的距离d= 2 k2+1 。所以 S△OPQ = 1 2d · PQ = 4 4k2-3 4k2+1 。设 4k2-3=t,则t> 0,S△OPQ= 4t t2+4= 4 t+ 4 t 。因为t+ 4 t≥4 ,当 且仅当t=2,即k=± 7 2 时等号成立,且满足 Δ>0。所以当△OPQ 的面积最大时,l的方 程为y= 7 2x-2 或y=- 7 2x-2 。 2.不规则多边形的面积可拆分为多个三 角形面积的和,如四边形的面积可以转化为 三角形面积之和,若四边形的对角线垂直,其 面积为两条对角线乘积的一半。 例2 设圆x2+y2+2x-15=0的圆心 为A,直线l过点B(1,0)且与x 轴不重合, 直线l交圆A 于C,D 两点,过点B 作AC 的 平行线交AD 于点E。设点E 的轨迹为曲线 C1,直线l交C1 于M,N 两点,过点B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P,Q 两点。求四边 形MPNQ面积的取值范围。 解:l与x 轴不垂直时,设l:y=k(x- 1)(k≠0),点 M(x1,y1),点 N(x2,y2)。由 y=k(x-1), x2 4+ y2 3=1 (E 的轨迹方程),{ 得 (4k2+3)x2- 8k2x+4k2-12=0。则x1+x2= 8k2 4k2+3 , x1x2 = 4k2-12 4k2+3 。所 以 MN = k2+1 x1-x2 = 12(k2+1) 4k2+3 。过点B 且与直线l 垂直的直线m:y=- 1 k (x-1),点A 到直线 m 的 距 离d= 2 k2+1 ,由 此 可 得 PQ = 2 42- 2 k2+1 æ è ç ö ø ÷ 2 =4 4k2+3 k2+1 。故四边形 MPNQ 的 面 积 S= 1 2 MN PQ = 12 1+ 1 4k2+3 ,所以S∈(12,83)。当l与x 轴垂直时,l:x=1,MN =3,PQ =8,四边 形 MPNQ 的面积为12。综上可知,四边形 MPNQ 面积的取值范围为[12,83)。 作者单位:广西梧州高级中学 91 基础数学 障碍分析 自主招生 2020年3月 $$