15.刍议高中数学解题中构造函数的应用-2020年3月刊高中自主招生《中学生数理化》

刍议高中数学解题中构造函数的应用 ■周 华 构造函数法是高中数学一种重要的解题 方法,它可以改善部分数学题目的解题步骤, 降低试题的解答难度,还能提高同学们的解题 效率和正确率。然而构造函数法对同学们的 数学学科素养是有一定要求的,部分同学在使 用构造法进行解题时还存在不小的障碍。本 文对能利用构造函数法解答的几类常见问题 进行举例分析,希望能帮助同学们扫清障碍。 一、最值类问题 例1 三个实数a,b,c满足关系abc+ a+c=b,求代数式 1 1+a2- 1 1+b2+ 1 1+c2 的 最大值。 解:根据题意可得,当ac=1时,abc+ a+c=b可转化为a+c=0。由 a+c=0, ac=1,{ 解 方程组可得a,c非实数,与已知条件不符,所 以ac≠1。故原式可转化为b= a+c 1-ac ,对此 式作三角代换,得a=tanα,c=tanβ,- π 2< α,β< π 2 ,此时b=tan(α+β)。故原代数式 1 1+a2- 1 1+b2+ 1 1+c2=cos 2α-cos2(α+β)+ cos2β=1+sinβsin(2α+β)-sin2β≤1+ |sinβ|-sin2β= 5 4- 1 2-|sinβ|( ) 2 ≤ 5 4 ,不 等式的等号在|sinβ|= 1 2 ,sin(2α+β)=1或 sin(2α+β)=-1时取得。因此代数式的最 大值为 5 4 。 二、不等式证明类问题 例2 试证明对任意的实数a∈N,存在 2sin 1 a-sin 2 1 a < 2 a- 1 a2 。 证明:构造函数f(x)= 2x-x2,观察 易知该函数在区间(0,1)上是连续可导的。 因为f'(x)= 1-x 2x-x2 >0,所以函数f(x) 在区间(0,1)上是单调递增的。因为a∈N, 且0<sin 1 a< 1 a ,所以fsin 1 a( )<f 1 a( ),即 2sin 1 a-sin 2 1 a < 2 a- 1 a2 ,故原不等式 得证。 三、解析几何类问题 例3 存在曲线c:y=exlnx+ 2ex-1 x ,l 为曲线c在x=1处的切线。 (1)求l的方程。 (2)若令y=f(x),求证:f(x)>1。 解:(1)根据已知条件可得,x∈(0,+ ∞),且y'=exlnx+ ex x+ 2xex-1-2ex-1 x2 。因 为y'(1)=e,y(1)=2,故曲线c在x=1处的 切线为y=e(x-1)+2。 (2)因为y=exlnx+ 2ex-1 x ,所以f(x)> 1,即 xlnx>xe-x- 2 e 。设函数 g(x)= xlnx,则 g'(x)=1+lnx。当 x ∈ 0, 1 e( ) 时,g'(x)<0;当 x∈ 1 e ,+∞( ) 时, g'(x)>0。即 g(x)在 0, 1 e( ) 上递减,在 1 e ,+∞( ) 上递增,所以g(x)在(0,+∞)上 的最 小 值 为 g 1 e( ) = - 1 e 。又 设 函 数 h(x)=xe-x - 2 e ,同 理 可 得 h(x)在(0, +∞)上的最大值为h(1)=- 1 e 。所以当 x>0时,g(x)>h(x)恒成立,即f(x)>1恒 成立,得证。 通过对上述几个例题进行归纳我们可以 发现,构造函数法的关键就是在常规解题流程 中加入新函数,同学们只要多加练习,再面对 此类问题时解答起来就会更加得心应手。 作者单位:湖北省黄冈市浠水县洗马高级中学 02 基础数学 障碍分析 自主招生 2020年3月 $$