16.妙用并集可巧解误用并集易出错-2020年3月刊高中自主招生《中学生数理化》

妙用并集可巧解 误用并集易出错 ■韦秀周 因为并集的定义简单而深刻,所以在并 集的学习中我们更多关注的是并集的运算, 而对何时使用并集求解问题关注不够。显然 妙用并集可以实现巧解,而误用并集则会导 致一些不易察觉的错误出现。 1.妙用并集解题 例1 命题p:∀x∈R,a≥sinx,命题 q:∃x∈R,使x2+ax+1<0。若命题p∨q 为真命题,求a的取值范围。 分析:因为p∨q为真命题,即p 或q至 少有一个为真命题,所以先求p 和q为真命 题时对应的a的取值范围,再求其并集。 解:p 命题为真时,对应的a 的取值范围 是a≥1;q 命题为真时,由Δ=a2-4>0,得 a>2或a<-2。求两者的并集,得a 的取 值范围是 -∞,-2( )∪ 1,+∞[ )。 例2 若函数f x( )=x3+(1-a)x2- aa+2( )x+b(a,b∈R),在区间 -1,1( ) 上 不单调,求a的取值范围。 分析:函数f x( ) 在区间 -1,1( ) 上不单 调,等 价 于 f' x( ) =3x2 +2 1-a( )x- aa+2( ) = 3 x-a( ) x+ a+2 3( ) 在 区 间 -1,1( ) 上有零点,但是不能有两个相同的零 点,即f'x( )=0在区间 -1,1( ) 上有实根, 且无重根。若利用一元二次方程根的分布理 论,f'x( )=0在区间 -1,1( ) 上有一个实根 和有两个实根这两种情况分别求解,则较为 复杂。若巧用并集,则求解过程简洁。 解:f'x( )=0在区间 -1,1( ) 上有实根, 即f'x( )=0在区间 -1,1( ) 上至少有一个 实根,即x=a 或x=- a+2 3 至少有一个根 在 -1,1( ) 上,所以只要-1<a<1或-1< - a+2 3 <1 且a≠- a+2 3 即可满足题意,解 得a的取值范围是 -5,- 1 2( )∪ - 1 2 ,1( )。 2.误用并集解题 例3 解不等式logax>1。 错解:原不等式转化为logax>logaa,当 a>1时,x>a;当0<a<1时,0<x<a。故 所求解集为 0,a( )∪ a,+∞( )。 正解:原不等式转化为logax>logaa,当 a>1时,x>a;当0<a<1时,0<x<a。故 当a>1时,所求解集为 a,+∞( );当0<a< 1时,所求解集为 0,a( )。 例4 已知不等式 2x-a >x-1在 0,2[ ] 上恒成立,求实数a的取值范围。 错解:因为 2x-a >x-1⇔2x-a> x-1或2x-a<-x+1,所以 2x-a > x-1在 0,2[ ] 上恒成立⇔2x-a>x-1在 0,2[ ] 上 恒 成 立 或 2x-a< -x+1 在 0,2[ ] 上恒成立⇔a<x+1在 0,2[ ] 上恒成 立或a>3x-1在 0,2[ ] 上恒 成 立⇔a< x+1( ) min或 a> 3x-1( ) max。故 a<1 或 a>5。 错因:2x-a >x-1在 0,2[ ] 上恒成 立的含义是对 0,2[ ] 上的每一个x,a<x+1 或a>3x-1成立,即a<x+1,a>3x-1 中至少有一个成立即可,而不是在 0,2[ ] 上恒 成立或a>3x-1在 0,2[ ] 上恒成立。 图1 正解:如图1所示,当 a<1时,对 0,2[ ] 上的每 一个x,a<x+1恒成立, 从而 2x-a >x-1在 0,2[ ] 上恒成立;当a>5 时,a>3x-1在 0,2[ ] 上 恒成 立,从 而 2x-a > x-1在 0,2[ ] 上恒成立;但当1≤a<2时, x∈ 0,x0[ ],a>3x-1成立,x∈ x0,2( ], a<x+1 成 立,即 2x-a >x -1 在 0,2[ ] 上也恒成立。因此实数a 的取值范围 是a<2或a>5。 作者单位:广西南宁上林县城关中学 12 基础数学 障碍分析 自主招生 2020年3月 $$