17.简述分类讨论的高中数学解题研究-2020年3月刊高中自主招生《中学生数理化》

简述分类讨论的高中数学解题研究 ■马 琳 同学们在学习数学知识和研究数学问题 时,掌握适当的方法能促使学习任务的有效 实施。分类讨论是处理数学问题时常用的一 种方法,主要是对数学问题进行认知、处理 等。分类讨论思想在高中数学解题中发挥着 重要的作用,可以帮助同学们在对问题进行 分析时,将研究的问题进行分类划分,并实现 对每一部分的探究,促使问题得到充分解决。 下面基于分类讨论思想在高中数学解题中的 应用必要性,对分类讨论思想在高中数学解 题中的应用作出具体研究。 一、在函数试题解题中的应用 在对函数试题进行解答时,如果函数的 参数值发生量变,其结果也会产生变化,这时 就可以结合函数中的参数实现分类讨论。在 解答时要结合各个问题和研究对象,加深对 问题的研究,保证问题解决的正确性。在应 用分类讨论思想时,要形成分类意识,确定出 如何分类的方法,达到分类的有效整合。 例如:函 数 y= m+3( )x2m+1+4x- 5(x≠0)为一次函数,求m 的值。由于(m+ 3)x2m+1可能为一次项、常数或者0,所以在解 题过程中,要进行分类探讨。(1)当2m+1= 1且m+3+4≠0,即m=0时,函数y=7x- 5为一次函数。(2)当2m+1=0,即m=- 1 2 时,函数y=4x- 5 2 为一次函数。(3)当m+ 3=0,即m=-3时,函数y=4x-5为一次 函数。 二、在概率试题解题中的应用 概率知识在高中数学学习中占有较大 比重,也是高考的必考题目。在对这类问 题进行解答时,可以积极渗透分类讨论思 想,对问题的重点进行研究,以便对问题进 行具体分析。解题时需要先分析出问题的 概率类型,然后对已知条件分类,对问题的 变量、数值等分类假设,以确定出适合的方 式。将分类讨论思想应用到概率试题解题 中,不仅能使同学们节省大量的解题时间, 加快解题速度,也会降低试题难度,提升解 题效率。 例如:在某学校运动会上,有编号为1, 2,3,…,共18名运动员,如果从中选择3名 代表,则选择的运动员编号能组成以3为公 差的等差数列的概率为多少? 基本事件的总 数为C318=17×16×3,选手编号为an=a1+ 3(n-1)。如果a1=1,则需要在1,4,7,10, 13,16中选择;如果a1=2,则需要在2,5,8, 11,14,17中选择;如果a1=3,则需要在3,6, 6,12,15,18中选择。所以每种方法有4种 选法,可得P= 4+4+4 17×16×3= 1 68 ,故所求概率 为 1 68 。 三、在数列试题解题中的应用 将分类讨论思想应用到高中数学的数列 试题解题中,能促使问题得到充分解决,促使 问题解决效率的提升,如对数列中的周期性 问题、等比数列求和问题的解决都具有重要 作用。 例如:设等比数列的公比为q,Sn>0 (n=1,2,3,…),求q的取值范围。在解答时 可以渗透分类讨论的思想予以探讨,分两种 情况,即q=1或q≠1。当q=1时,Sn= na1>0;当q≠1时,由Sn= a1(1-qn) 1-q >0, 可得 1-qn 1-q >0,所以1-qn>0且1-q>0或 1-qn<0且1-q<0,由此可得-1<q<0 或0<q<1或q>1。综上可得q的取值范围 为(-1,0)∪(0,+∞)。 综上所述,将分类讨论思想应用到高中 数学解题中十分重要,能保证解题效率的提 升和解题质量的提高。在实际应用过程中, 也会锻炼同学们的数学思维意识,培养大家 的数学学科素养。 作者单位:山东鄄城县第一中学 22 基础数学 障碍分析 自主招生 2020年3月 $$