19.情境新颖的概率问题-2020年3月刊高中自主招生《中学生数理化》

情境新颖的概率问题 ■代 勇 概率是高中数学的重要内容,在近几年 的各级各类考试中,相继出现了一些情境新 颖、构思精巧、解法灵活的概率创新题,显示 出概率知识的活力和魅力,下面举例分析。 例1 甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲 任意想出一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才 想的数字,把乙猜的数字记为b,且a,b∈{0, 1,2,…,9}。若|a-b|≤1,则称甲、乙“心有 灵犀”。现任意找两个人玩这个游戏,得出他 们“心有灵犀”的概率为 。 解析:当a为0时,b只能取0,1这2个 数;当a为9时,b只能取8,9这2个数;当a 取其他数时,b 都可以取3个数。所以他们 “心有灵犀”的情况共有28种。又基本事件 总数为100。所以所求的概率为0.28。 例2 “渐升数”是指每个数字比其左边 的数字大的自然数(如2578),在两位的“渐 升数”中任取一个数比37大的概率是 。 解析:十位数字是1的“渐升数”有8个, 十位数字是2的“渐升数”有7个,…,十位数 字是8的“渐升数”有1个,所以两位的“渐升 数”共 有8+7+6+5+4+3+2+1= 36(个)。以3为十位数字且比37大的“渐升 数”有2个,分别以4,5,6,7,8为十位数字的 “渐升数”均比37大,共有5+4+3+2+1= 15(个)。所以比37大的两位数的“渐升数” 共有2+15=17(个)。用A 表示“在两位的 ‘渐升数’中任取一个数比37大”这一事件, 则P(A)= 17 36 。 例3 表1为某班英语及数学的成绩分 布,全班共有学生50人,成绩分为1~5个档 次。例如表中所示英语成绩为4分、数学成 绩为2分的学生共5人。设x,y 分别表示英 语成绩和数学成绩。 表1 y x 数学 5 4 3 2 1 英语 5 1 3 1 0 1 4 1 0 7 5 1 3 2 1 0 9 3 2 1 b 6 0 a 1 0 0 1 1 3 (1)x=4的概率是多少? x=4且y=3 的概率是多少? x≥3的概率是多少? 在x≥ 3的基础上,y=3成立的概率是多少? (2)x=2的概率是多少? a+b 的值是 多少? 解析:(1)P(x=4)= 1+5+7+1 50 = 7 25 。 P(x=4,y=3)= 7 50 。P(x≥3)=P(x=3)+ P(x=4)+P(x=5)= 7 10 。当x≥3时,有 7 10×50=35 (人),在此基础上,y=3有1+ 7+0=8(人),所以在x≥3的基础上,P(y= 3)= 8 35 。 (2)因为 P(x=2)=1-P(x=1)- P(x≥3)=1- 5 50- 7 10= 1 5 ,又P(x=2)= 1+b+6+0+a 50 = 1 5 ,所以a+b=3。 例4 从装有5只红球、5只白球的袋中 任意取出3只球,现有下列事件,其中不是对 立事件的是 。 ①“取出2只红球和1只白球”与“取出1 只红球和2只白球”;②“取出2只红球和1 只白球”与“取出3只红球”;③“取出3只红 球”与“取出3只 球 中 至 少 有1只 白 球”; ④“取出3只红球”与“取出3只白球”。 解析:根据对立事件的定义,即如果 A 与B 是互斥事件且在一次试验中A 与B 必 有一个发生,进行判断。对于①,“取2只红 球和1只白球”与“取出1只红球和2只白 球”虽然是互斥事件,但在一次试验中并不一 定必有一个发生,因此不是对立事件。同理 42 基础数学 障碍分析 自主招生 2020年3月 $$