内容正文:
②④也不是对立事件。对于③,“取出3只红
球”与“取出3只球中至少有1只白球”是对
立事件。答案为①②④。
例5 某校共有学生12000名,学校为
使学生增强卫生健康意识,准备随机抽查12
名学生进行测试。其中某学生认为被抽中的
概率为
1
1000
,不可能抽查到自己,所以不再
准备卫生健康知识以便应试,你认为他的做
法对吗? 并说明理由。
解析:不 对。虽 然 他 被 抽 到 的 概 率 为
1
1000
,从概率的角度来分析,他被抽到的机会
很小,但是抽查每一名学生都是随机的,他有
可能被抽查到,只是被抽查到的机会少些,但
也应该积极准备,增强自己的卫生健康意识。
例6 一个盒子里装有6张卡片,上面分
别写 着 如 下 6 个 定 义 域 为 R 的 函 数:
f1(x)=x,f2(x)=x2,f3(x)=x3,f4(x)=
x5,f5(x)=ax(a>0且a≠1),f6(x)=
|x|。现从盒子中任取2张卡片,将卡片上的
函数相加得到一个新函数,则所得新函数为
奇函数的概率是( )。
A.
1
5 B.
1
4 C.
3
4 D.
2
5
解析:由条件可知,f1(x),f3(x),f4(x)
是奇函数,从中抽取2个的情形有3种,从6
张卡片中抽取2张的情形有15种,故所求的
概率为P=
3
15=
1
5
。选A。
总之,信息迁移题是高考命题的新亮点,
这类题通过给出一个新概念,或定义一种新
运算,或给出几个新模型等创设新的问题情
境,要求同学们在阅读理解的基础上,运用所
学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活
解题的目的。所以同学们在平时的学习中,
一定要善于发现并归纳这种新颖的概率问
题,以便再遇到类似问题时能顺利解答。
作者单位:四川省成都经济技术开发区
实验中学校
学以致用,学用相长
———从一道题的多种证明中提高自己的技能
■李奕霖
求最值是中学数学中常见的问题,也是
每年高考必不可少的热门考点。关于求最值
的方法多种多样,我针对下面这道题应用不
同的证明方法加以证明,发现了各种方法应
用的技巧和规律,从而帮助我更好地体会各
种证法的精妙所在,以助我学用相长。下面
就和大家分享一下我的做法。
例题 已知a>0,b>0,
1
2a+b+
1
b+1=
1,求a+2b的最小值。
1.换元法。换元法又称变量替换法,是
解题常用的方法之一。利用换元法,可以化
繁为简、化难为易,从而找到解题的捷径。
(1)整体换元,以“元”换“式”。令2a+
b=x,b+1=y,则x>0,y>1,且满足
1
x+
1
y
=1,可得a=
x-y+1
2
,b=y-1,所以a+
2b=
x-y+1
2 +2y-2=
x
2+
3y
2 -
3
2=
x
2+
3y
2( )
1
x+
1
y( )-
3
2=
3y
2x+
x
2y
+
1
2≥
2
3y
2x
·x
2y
+
1
2= 3+
1
2
,当且仅当3y
2x=
x
2y
,即x= 3y 时,等号成立。故a+2b的最
小值为 3+
1
2
。
(2)三 角 换 元,以 “式”换 “元”。令
1
2a+b=cos
2θ,
1
b+1=sin
2θ,则 2a+b=
sec2θ,b +1=csc2θ,整 理 后 可 得 a =
1+sec2θ-csc2θ
2 =
1
2+
1
2tan
2θ-
1
2cot
2θ,
b=cot2θ,此 时 a+2b=
1
2+
1
2tan
2θ+
3
2cot
2θ≥ 3+
1
2
。
52
基础数学 我的学习发现
自主招生 2020年3月
2.重要不等式。
(1)柯西不等式:①(u2+v2)(s2+t2)≥
(us+vt)2。
1
2a+b+
1
b+1=1=
1
2a+b
æ
è
ç
ö
ø
÷
2
+
1
b+1
æ
è
ç
ö
ø
÷
2
,a+2b+
3
2=a+
b
2+
3
2b+
3
2=
a+
b
2
æ
è
ç
ö
ø
÷
2
+ 3
2b+
3
2
æ
è
ç
ö
ø
÷
2
é
ë
êê
ù
û
úú ·
1
2a+b
æ
è
ç
ö
ø
÷
2
+ 1
b+1
æ
è
ç
ö
ø
÷
2
é
ë
êê
ù
û
úú ≥
a+
b
2
1
2a+b+
3
2b+
3
2
1
b+1
æ
è
ç
ö
ø
÷
2
=
1
2+
3
2
æ
è
ç
ö
ø
÷
2
=2+ 3,即a+2b≥ 3+
1
2
。
②
v2
u+
t2
s≥
(v+t)2
u+s
。由于1=
1
2a+b+
1
b+1=