1.不畏浮云遮望眼，只缘身在最高层——三角函数与解三角形科学备考新方向-2020年3月刊高考数学《中学生数理化》

■甘肃省教育科学研究院 卞 蕾 三角函数与解三角形作为高考必考内 容,非常有必要做认真科学的备考研究。通 过分析研究容易发现,高考对三角函数与解 三角形的考查主要有以下几个方面:一是考 查三角函数的图像和性质,主要涉及图像的 对称性、单调性、周期性、最值及零点等;二是 考查函数y=Asin(ωx+φ)的五点法画图、 图像变换、由图像求函数解析式及解决实际 问题等;三是考查利用两角和与差公式、二倍 角公式进行三角函数的化简与求值,以及公 式的正用、逆用及变式运用,有时单独考查, 有时与三角函数的图像和性质、向量等知识 综合考查;四是考查正弦定理和余弦定理,通 常都比较灵活多变,有时以小题的形式独立 考查正弦定理或余弦定理,有时以解答题的 形式考查定理的综合应用,常与三角形的周 长、面积有关,有时也会与平面向量、三角恒 等变换等结合起来考查,试题难度属于中等 或中等以下。下面就以几种形式的例题为载 体,对三角函数与解三角形的备考进行深入 思考。 一、三角函数基本公式、定义的考查 例1 函数y= 3sin 2x+cos 2x 的最 小正周期为( )。 A. π 2 B. 2π 3 C.π D.2π 解析:函 数 y= 3sin 2x+cos 2x= 2sin2x+ π 6 ,故ω=2,则T=π。故选C。 思考:本题考查最基础的公式问题,要求 同学们在准确记忆公式的同时还会利用辅助 角公式进行“化单”。 例 2 已 知 sin π6-x = 14,则 sin2x+ π 6 = 。 解析:因为sin π6-x =cos π3+x = 1 4 ,所以sin2x+ π 6 =-cos2x+2π3 = -2cos2 x+ π 3 +1=78。 思考:本题考查诱导公式,要求同学们能 够发现已知与所求之间的关系,灵活应用诱 导公式,进而快速准确地解答问题。 二、知识交汇问题的考查 例3 已知向量a=(cos α,-2),b= (sin α,1),若a∥b,则tanα- π 4 =( )。 A.3 B.-3 C. 1 3 D.- 1 3 解析:因为a∥b,所以cos α+2sin α=0, 所以tan α=- 1 2 ,则tanα- π 4 =tan α-1 1+tan α =-3。故选B。 思考:本题是三角函数和向量的交汇问 题,但是都比较基础,要求同学们能够准确记 忆基本公式。 例4 若f(x)=sin(2x+θ),则“f(x) 的图像关于x= π 3 对称”是“θ=- π 6 ”的( )。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析:若f(x)的图像关于x= π 3 对称, 则2× π 3+θ= π 2+kπ ,解得θ=- π 6+kπ , k∈Z,此时θ=- π 6 不一定成立,反之成立, 3 知识篇 科学备考新指向 高考使用 2020年3月 即“f(x)的图像关于 x= π 3 对称”是“θ= - π 6 ”的必要不充分条件。故选B。 思考:本题是三角函数和命题的交汇问 题,不仅考查三角函数的对称性,还考查充分 必要条件的判定,要求同学们能够正确理解 对称轴,准确判断充分必要条件。 三、有关范围和最值问题的考查 例5 在锐角△ABC 中,角A,B,C 的 对边 分 别 为 a,b,c,且 cos A a + cos B b = 23sin C 3a ,b=23,求a+c的取值范围。 解析:因为cos A a + cos B b = 23sin C 3a , ab≠0,所以bcos A+acos B= 23 3bsin C。 由正弦定理可得sin Bcos A+sin A· cos B= 23 3 sin Bsin C,即sin(A+B)= sin C= 23 3sin Bsin C。 因为sin C≠0,所以sin B= 3 2 。 又△ABC 为锐角三角形,所以B= π 3 。 所以a+c= bsin A sin B + bsin C sin B =4 (sin A +sin C)=4sin A+4sin2π3-A =4 3· cosA- π 3 。 因为A, 2π 3-A 均为锐角,所以π 6<A< π 2 ,从而- π 6<A- π 3< π 6 。 所以a+c∈(6,43]。 思考:本题最关键的问题是对锐角三角 形进行正确的转化,即A, 2π 3-A 均为锐角, 得出 π 6<A< π 2 ,从而顺利解决问题。 四、创新性题型的考查 例6 在△A