2.抬头看路,策马再扬鞭——数列专题科学备考新方向-2020年3月刊高考数学《中学生数理化》

■江苏省华罗庚中学 王国俊 数列是初等数学与高等数学衔接和联系 最密切的内容之一,是进一步学习高等数学 的基础。数列作为特殊的函数,在高中数学 中占有相当重要的位置。数列的题目形态多 变,蕴含丰富的数学思想和数学方法,是高考 的热点之一。高考对数列的考查突出基础 性,重点考查考生对数列通性通法的理解与 应用,有时也考查综合性较强的数列问题,把 对基础知识的考查和对能力的考查有机结合 起来,解题方法灵活多样,技巧性较强。 在高三复习中,要关注数列的考查定位, 既要关注数列的小题训练,也要关注数列的 综合考查。高考试卷中关于数列的选择和填 空题主要考查等差、等比数列的性质,解答题 主要考查等差、等比数列的通项与前n 项和 公式,以及简单的递推关系(主要是Sn 与an 的关系)等问题,一般是中档题。如果能够对 基础进行扎实的训练,做到“回头看路,不忘 初心”,再加上科学有效的“抬头看路,明确方 向”,高三的复习定能事半功倍。 一、等差数列的性质及应用 例1 已知Sn 是数列{an}的前n 项 和,且 Sn+1=Sn+an+3,a4+a5=23,则 S8=( )。 A.72 B.88 C.92 D.98 解析:由 Sn+1=Sn+an+3得an+1- an=3,所以数列{an}是公差为3的等差数 列,则S8= 8(a1+a8) 2 = 8(a4+a5) 2 =92 。故 选C。 例2 设等差数列{an}的前n 项和为 Sn,且S3=-12,S9=45,则S12= 。 解析:因为{an}是等差数列,所以 S3, S6-S3,S9-S6,S12-S9 成等差数列,所以 2(S6-S3)=S3+(S9-S6),即2(S6+12)= -12+(45-S6),解得S6=3。又2(S9-S6) =(S6-S3)+(S12-S9),即2×(45-3)= (3+12)+(S12-45),解得S12=114。 总结:等差数列的常用性质和结论。 (1)在等差数列{an}中,若 m+n=p+ q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则am+an=ap+ aq=2ak。 (2)在等差数列{an}中,数列Sm,S2m- Sm,S3m-S2m 也成等差数列。 二、等差数列的判定与证明 例3 若数列{an}的前n项和为Sn,且 满足an+2SnSn-1=0(n≥2,n∈N*),a1= 1 2 。 (1)求证:1Sn 成等差数列; (2)求数列{an}的通项公式。 解析:(1)当n≥2时,由an+2SnSn-1= 0,可得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,所以 1 Sn - 1 Sn-1 =2。又 1 S1 = 1 a1 =2,故 1Sn 是首项为2,公差 为2的等差数列。 (2)由(1)可得 1 Sn =2n,所以Sn= 1 2n 。 当n≥2 时,an =Sn -Sn-1 = 1 2n- 1 2(n-1)=- 1 2n(n-1) 。 当n=1时,a1= 1 2 不适合上式。 故an= 1 2 ,n=1, - 1 2n(n-1) ,n≥2。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 总结:判定数列{an}是等差数列的常用 方法。 5 知识篇 科学备考新指向 高考使用 2020年3月 (1)定义法:对任意n∈N*,an+1-an 是 同一常数。 (2)等差中项法:对任意n≥2,n∈N*, 满足2an=an+1+an-1。 (3)通项公式法:对任意n∈N*,都满足 an=pn+q(p,q为常数)。 (4)前n项和公式法:对任意n∈N*,都 满足Sn=An2+Bn(A,B 为常数)。 三、等比数列的性质及应用 例4 设等比数列{an}中,前n 项和为 Sn,已知 S3=8,S6=7,则a7+a8+a9= ( )。 A. 1 8 B.- 1 8 C. 57 8 D. 55 8 解析:因为a7+a8+a9=S9-S6,在等 比数列中,S3,S6-S3,S9-S6 成等比数列, 即8,-1,S9-S6 成等比数列,所以有8(S9 -S6)=1,即S9-S6= 1 8 。故选A。 例5 已知等比数列{an}中,a4+a8= -2,则a6(a2+2a6+a10)的值为( )。 A.4 B.6 C.8 D.-9 解析:a6(a2+2a6+a10)=a6a2+2a26+ a6a10=a24+2a4a8+a28=(a4+a8)2。 因为a4+a8=-2,所以a6(a2+2a6+ a10)=4。故选A。 总结:等比数列性质的应用可以分为三 类:通项公式的变形、等比中项的变形、前n 项和公式的变形。根据题目条件,认真分析, 发现具体的变化特征即可找出解决问题的突 破口。 四、等比数列的判定与证明 例6 已知数列{an}满足