3.回首来时路，白云深几重-——空间几何专题科学备考新方向-2020年3月刊高考数学《中学生数理化》

■江苏省沭阳高级中学 梁洪星 立体几何是高中数学知识体系的重要知 识模块之一,包括“空间几何体”、“点、直线、 平面之间的位置关系”和“空间向量与立体几 何”。高考立体几何试题具有较强的综合性 与交汇性,是髙考的必考内容。试题突出综 合性,重视基础知识、基本技能、综合应用和 创新意识的考查,对数形结合、分类讨论、转 化与化归等思想方法都有涉及,体现了对同 学们数学学科核心素养的考查。 高考对立体几何的考查难度、题量都相 对稳定,题目难度属于中档,其题型、难度与 分值比例均长期保持相对稳定,是同学们应 尽力得满分的题目,所以最科学的备考方法 就是夯实基础,回首来时路。 一、与球有关的切、接问题 例1 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的 6个顶点都在球 O 的球面上,若 AB=3, AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O 的半径 为( )。 A. 3 17 2 B.2 10 C. 13 2 D.3 10 图1 解析:如图1所示,由球 心作平面 ABC 的垂线,则 垂足为BC 的中点M。 又 AM = 1 2BC= 5 2 , OM= 1 2AA1=6 ,所以球O 的半径R=OA= 52 2 +62= 13 2 。故选C。 总结:(1)正方体的内切球的直径为棱 长,外接球的直径为正方体的体对角线长,此 问题也适合长方体,或由同一顶点出发的两 两互相 垂 直 的 三 条 棱 构 成 的 三 棱 柱 或 三 棱锥。 (2)直棱柱外接球的球心到直棱柱底面 的距离恰为棱柱高的 1 2 。 (3)遇到球与旋转体的组合问题,通常需 要作出它们的轴截面进行解题。 (4)遇到球与多面体的组合问题,通常过 多面体的一条侧棱和球心,或“切点”、“接点” 作出截面图,把空间问题化归为平面问题。 二、平面的基本性质及应用 例2 已知四个命题:①不共面的四点 中,其中任意三点不共线;②若点A,B,C,D 共面,点A,B,C,E 共面,则点A,B,C,D,E 共面;③若直线a,b共面,直线a,c共面,则 直线b,c共面;④依次首尾相接的四条线段 必共面。其中正确命题的个数是( )。 A.0 B.1 C.2 D.3 解析:①显然是正确的,可用反证法证明; 图2 ②若A,B,C 三点共线,则 A,B, C,D,E 五点不一定共面;③构造 长方体、正方体或其他符合条件的 图形,如图2所示,显然b,c异面, 故不正确;④空间四边形中四条线 段不共面,故不正确。故选B。 总结:用平面的基本性质证明共点、共 线、共面的方法。 (1)证明点或线共面问题的两种方法: ①由所给条件中的部分线(或点)确定一个平 面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内; ②将所有条件分为两部分,然后分别确定平 面,再证两平面重合。 (2)证明点共线问题的两种方法:①先由 两点确定一条直线,再证其他各点都在这条 直线上;②直接证明这些点都在同一条特定 8 知识篇 科学备考新指向 高考使用 2020年3月 直线上。 (3)证明线共点问题的常用方法是:先证 其中两条直线交于一点,再证其他直线经过 该点。 三、直线与平面平行、平面与平面平行 的判定与性质 例3 如图3,在四棱锥 P-BCD 中, 图3 AD∥BC,AB=BC = 1 2AD ,E,F,H 分别 为 线 段 AD, PC,CD 的 中 点, AC 与BE 交于点 O,G 是线段OF 上 一点。 (1)求证:AP∥平面BEF; (2)求证:GH∥平面PAD。 证明:(1)连接EC。因为 AD∥BC,BC = 1 2AD ,所以BC∥AE,且BC=AE,所以四 边形ABCE 是平行四边形,所以O 为AC 的 中点。 又因为F 是PC 的中点,所以FO∥AP, 且FO⊂平面BEF,因为AP⊄平面BEF,所 以AP∥平面BEF。 (2)连接FH,OH。 因为F,H 分别是PC,CD 的中点,所以 FH∥PD,所以FH∥平面PAD。 又因为O 是AC 的中点,H 是CD 的中 点,所以OH∥AD,所以OH∥平面PAD。 又FH∩OH=H,所以平面OHF∥平 面PAD。又GH⊂平面OHF,所以GH∥平 面PAD。 总结:解决直线与平面平行的三种思维 方式。 (1)利用线面平行的判定定理证明直线 与平面平行的关键是设法在平面内找到一条 与已知直线平行的直线。 (2)构造平行的常见形式:三角形的中位 线、平行四边形、利用比例关系证明两直线平 行等。 (3)在解决线面、面面平行的判定时,一 般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线 平行”到“线面平行”,再到“面面平行”,而在 应用性质定理时,其顺序恰好相反。 四、直线与平面、平面与平面垂直的判 定与性质 图4