4.概率与统计考点解析-2020年3月刊高考数学《中学生数理化》

■广东省惠州市惠阳区崇雅实验学校 朱向东 概率与统计既是高中数学新课程的重要 组成部分,又是反映数学应用性的高考考点, 其处理问题的方式、方法体现了较高的思维 含量,特别是在新形势下高中数学强调学生 的数学学科素养,而在高考试题中,概率与统 计题能将数据分析、数学运算、数学模型,甚 至逻辑推理等数学核心素养融入其中,因此 它已经上升为继圆锥曲线、函数与导数之后 的第三压轴题。该类问题以应用题为载体, 注重考查学生的应用意识、阅读理解能力、化 归转化能力。概率问题的核心是概率计算, 其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核 心,排列组合是进行概率计算的工具。统计 问题的核心是样本数据的获得及分析方法, 重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数 字特征;离散型随机变量的分布列及其期望 的考查是历年来高考的重点,难度多为中低 档类题目,特别是渗透进统计内容,背景新 颖,充分体现了概率与统计的工具性和交汇 性。高考备考过程就是不断探索、不断完善 的过程,在备考过程中,我们就要对题目全面 把握,了解试题已知条件和要求结论之间的 关系,运用学过的概念和知识进行思考辨析, 并用正确的数学语言表述出来,最终解决问 题。下面对概率统计题进行归纳、总结和预 测,以便能帮助同学们在考场中启迪思维、融 会贯通,居高临下地探测2020年高考概率统 计题的发展趋势,以探究概率统计题科学有 效的备考策略。 一、事件与概率 主要考查用列举法计算一些随机事件所 包含的基本事件数及事件发生的概率。 例1 齐王与田忌赛马,田忌的上等马 优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌 的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中 等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马,现从 双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛,则 田忌的马获胜的概率为( )。 A. 1 6 B. 1 5 C. 1 4 D. 1 3 解析:设田忌的上,中,下三个等次的马 分别为A,B,C,齐王的上,中,下三个等次的 马分别为a,b,c,从双方的马匹中随机地选 一匹比赛的所有可能有Aa,Ab,Ac,Ba,Bb, Bc,Ca,Cb,Cc,共9种,田忌的马获胜有Ab, Ac,Bc,共3种,即田忌的马获胜的概率为 1 3 。故选D。 二、古典概型与几何概型 古典概型主要考查实际背景的等可能事 件,通常与排列、组合、互斥事件、对立事件等 知识相结合进行考查。 例2 袋中装有除颜色外均相同的2 个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次 抽取1球,则3次中恰有2次抽到黄球的概 率是( )。 A. 2 5 B. 3 5 C. 18 125 D. 54 125 解析:袋中装有2个红球,3个黄球,有 放回地抽取3次,每次抽取1球,则每次抽到 黄球的概率为 3 5 ,所以3次中恰有2次抽到 黄球的概率P=C23 3 5 2 1- 3 5 =54125。故 选D。 几何概型与古典概型相对,将等可能事 件的概念从有限向无限延伸,它将每个基本 事件理解为从某个特定的几何区域内随机地 取一点,该区域中每一个点被取到的机会都 一样,这样我们就可用线段长度、图形面积和 几何体体积来度量无限个等可能事件数。 例3 在[- 3,3]内随机地取一个数 k,则事件“直线y=kx+k与圆(x-1)2+y2 =1有公共点”发生的概率为( )。 11 知识篇 科学备考新指向 高考使用 2020年3月 A. 1 3 B. 1 4 C. 1 2 D. 3 2 解析:若直线y=kx+k与圆(x-1)2+ y2=1有公共点,则 |2k| 1+k2 ≤1,解得- 3 3≤ k≤ 3 3 ,因此所求概率为 3 3- - 3 3 3-(- 3) = 1 3 。 故选A。 三、离散型随机变量的分布列、均值与 方差 离散型随机变量的分布列、均值、方差一 般与排列、组合及古典概型、二项分布相结 合,以实际问题为背景进行考查。 例4 口袋中有5只球,编号为1,2,3, 4,5,从中任取3球,以ξ表示取出的球的最 大号码,则E(ξ)=( )。 A.4 B.5 C. 9 2 D. 15 4 解析:由题意,ξ的取值可以是3,4,5。 当ξ=3时,概率是 1 C35 = 1 10 ; 当ξ=4时,概率是 C23 C35 = 3 10 (最大的是4, 其他两个从1,2,3里面随机取); 当ξ=5时,概率是 C24 C35 = 6 10 (最大的是5, 其他两个从1,2,3,4里面随机取)。 所以期望E(ξ)=3× 1 10+4× 3 10+5× 6 10= 9 2 。 例5 甲、乙两人进行乒乓球比赛,约 定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到 有一人比对方多2分或打满6局时停止。设 甲在每局中获胜的概率为 2