5.三角的交汇创新问题-2020年3月刊高考数学《中学生数理化》

■江苏省宝应县安宜高级中学 鲜 黎 三角函数自身的交汇,以及与其他知识 的网络交汇已成为高考的热点创新问题,本 文聚焦之。 创新1——三角函数的定义与直线斜率 的交汇 例1 (2019年第二次全国大联考新课 标Ⅱ卷)过点 - 1 2 ,0 ,且倾斜角为α的直线 l与圆E:(x-2)2+y2=20相交于A,B 两 点,若∠AEB= 2π 3 ,则2sin2α-cos2α 的值为 。 解析:利用直线与圆相交得到的圆心角确 定点到直线的距离进而求直线的斜率,利用三 角函数的定义和同角关系求解。设直线的斜 率为k,则直线l的方程为y=kx+ 1 2 ,即 2kx-2y+k=0。由∠AEB= 2π 3 知圆心到直 线l的距离为 5,即 5= |5k| 2 k2+1 ,得k= tan α=±2,则 2sin2α-cos2α sin2α+cos2α = 2tan2α-1 tan2α+1 = 2×4-1 4+1 = 7 5 。 追根溯源:借助“角的三角函数的定义和 同角三角函数间的基本关系”沟通了直线和 定圆相交时的斜率,进而求解了关于倾斜角 为α的正弦和余弦的二次齐次式的值,将三 角函数与直线和圆相交有机地交汇在一起, 其中斜率和倾斜角是沟通它们关系的桥梁。 创新2——利用三角函数图像的特征确 定函数值的大小 例2 (2019年河北石家庄)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 均为正的常 数)的最小正周期为π,当 x= 2π 3 时,函数 f(x)取 得 最 小 值,则 下 列 结 论 正 确 的 是 ( )。 A.f(2)<f(-2)<f(0) B.f(0)<f(2)<f(-2) C.f(-2)<f(0)<f(2) D.f(2)<f(0)<f(-2) 解析:由题意得周期π= 2π ω ,所以ω=2, 所以f(x)=Asin(2x+φ)。当x= 2π 3 时,函 数f(x)取得最小值,则2× 2π 3+φ= 3π 2+ 2kπ(k∈Z),即φ= π 6+2kπ (k∈Z),则f(x) =Asin2x+ π 6 (A>0)。当2x+π6=π2+ 2kπ(k∈Z),即x= π 6+kπ (k∈Z)时,f(x) 取得最大值。要比较f(2),f(-2),f(0)的 大小,只需判断2,-2,0与最近的最高点处 的对称轴的距离大小,易知0,2与 π 6 比较近, -2 与 - 5π 6 比 较 近,所 以 当 k=0 时, 0- π 6 ≈0.52,当 k=2 时,2- π 6 ≈ 1.47,当k=-2时,-2- -5π 6 ≈0.6,所 以f(2)<f(-2)<f(0)。故选A。 追根溯源:解决三角函数中的比较大小 问题,第一步,通过周期定ω,通过最值或对 称中心确定初相位φ,进而写出解析式;第二 步,将需要比较大小的函数值代入解析式或 通过图像判断。本题代入函数值不方便,根 据函数值在图像上的具体位置进行判断,凸 显图像的应用价值。 创新3——三角函数与不等式的交汇 例3 (2019届福建省数学基地学校高 三单元过关测试)将函数y=sin x 的图像上 所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 (纵坐标不 41 解题篇 创新题追根溯源 高考使用 2020年3月 变),再将所得的图像向左平移π 6 个单位长度 后得到函数f(x)的图像。 (1)写出函数f(x)的解析式; (2)若对任意x∈ - π 6 ,π 12 ,f2(x)- mf(x)-1≤0恒成立,求实数 m 的取值 范围。 解析:(1)注意图像变换过程,依据题设 y=sin x→y=sin 2x→y=sin 2x+ π 6 = 2sin2x+ π 3 ,即f(x)=sin2x+π3 。 (2)换元转化为二次不等式在区间上恒 成 立 问 题。设 t =sin 2x+ π 3 ,x ∈ - π 6 ,π 12 ,则t∈[0,1],f2(x)-mf(x)- 1≤0可化为t2-mt-1≤0,设g(t)=t2-mt -1≤0,t∈[0,1],则g(t)的图像是开口向 上的 抛 物 线 一 段,g(t)≤0,当 且 仅 当 g(0)=-1≤0, g(1)=-m≤0 时成立,解得m≥0,所以m 的取值范围是[0,+∞)。 追根溯源:解决三角函数相关的恒成立 问题,一定要注意三角函数自身的有界性,关 键是将其进行等价转化,使之转化为函数在 区间上的最值问题,可以用函数的性质求解 或分离参数构建新函数求值域使问题得到解 决。第(2)问中还可以这样解:t2-mt-1≤ 0,t∈[0,1],当t=0时,不等式成立;当t∈ (0,1]时,得 m≥t- 1 t ,令g(t)=t- 1 t ,则 g(t)在(0,1]上是增函