7.立体几何中探索性问题的“创新”-2020年3月刊高考数学《中学生数理化》

立体几何中探索性问题的“创新” ■山东省肥城市第一高级中学 赵 涛 立体几何中的探索性问题立意新颖,形 式多样,求解探究过程既能够考查同学们的 空间想象力,又可以考查同学们的意志力和 探究创新意识,逐步成为近几年高考命题的 热点之一。其主要有两类:一是推理型,即探 究空间中的平行与垂直关系,可以利用空间 线面关系的判定与性质定理进行推理探究; 二是计算型,即对几何体中的空间角与距离、 几何体的体积等计算型问题的有关探究,此 类问题多通过求角、距离、体积等把这些探究 性问题转化为关于某个参数的方程,根据方 程解的存在性来解决。 创新1——“几何法”探究以“平行” 为背景的探索性问题 例1 (2019年南昌市二模)如图1,已 图1 知四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为2的菱形, ∠BAD=60°,SA=SD= 5, SB= 7,E 是棱AD 的中点, 点F 在棱SC 上,且 SF SC=λ , SA∥平面BEF。 (1)求实数λ的值; (2)求三棱锥F-EBC 的体积。 解析:(1)连接AC,设AC∩BE=G,则 平面SAC∩平面EFB=FG。因为SA∥平 面 EFB,所 以 SA∥FG。因 为 △GEA ∽ △GBC,所以 AG GC= AE BC= 1 2 ,所以SF FC= AG GC = 1 2 ,所以SF= 1 3SC ,所以λ= 1 3 。 (2)因为SA=SD= 5,所以SE⊥AD, SE=2。又底面ABCD 是边长为2的菱形, ∠BAD=60°,所以 BE= 3,所 以 SB2= SE2+EB2,所以SE⊥EB,所以SE⊥平面 ABCD,则 V三棱锥F-EBC = 2 3 V三棱锥S-EBC = 1 3V四棱锥S-ABCD= 1 3× 1 3×2×2 2sin 60°= 43 3 。 追根溯源:直线和平面平行的存在探索 性问题,利用传统的几何方法,一定要灵活利 用空间几何体的结构特征,注意其中的平行、 垂直及长度之间的关系,取特殊点构造辅助 面完成线和面内的直线平行,其中依据性质 定理作辅助线和辅助面是求解的关键。 创新2——“几何法”探究以“垂直” 为背景的探索性问题 例2 (2019届广东七校联考二)在长 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分 别 是 图2 AD,DD1 的中点,AB=BC= 2,过A1,C1,B 三点的平面截 去长方体的一个角后,得到如 图2 所 示 的 几 何 体 ABCD- A1C1D1,且这个几何体的体积 为 40 3 。 (1)求证:EF∥平面A1BC1。 (2)求A1A 的长。 (3)在线段BC1 上是否存在点 P,使直 线 A1P 与 C1D 垂 直? 如 果 存 在,求 线 段 A1P 的长;如果不存在,请说明理由。 解析:(1)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,可知 AB∥D1C1,AB=D1C1,故四边形 ABC1D1 是平行四边形,所以 AD1􀱀BC1。 因为 E,F 分别是 AD,DD1 的中点,所以 AD1∥EF,则 EF ∥BC1。又 EF ⊄ 面 A1BC1,BC1 ⊂ 面 A1BC1,则 EF∥平 面 A1BC1。 (2)因 为 VABCD-A1C1D1 =VABCD-A1B1C1D1 - VB-A1B1C1=2×2×AA1- 1 3× 1 2×2×2×AA1 = 10 3AA1= 40 3 ,所以AA1=4。 (3)如图3,在平面CC1D1D 中作D1Q⊥ C1D 交CC1 于 Q,过 Q 作QP∥CB 交BC1 于点P,因为A1D1⊥平面CC1D1D,C1D⊂ 平面CC1D1D,所以C1D⊥A1D1,QP∥CB, CB∥A1D1,所以 QP∥A1D1。又 A1D1∩ 81 解题篇 创新题追根溯源 高考使用 2020年3月 D1Q=D1,所 以 C1D⊥平 面 A1PQD1,且 A1P⊂平面A1PQD1,所以 A1P⊥C1D。因 图3 为Rt△D1C1Q∽Rt△C1CD, 所以 C1Q CD = D1C1 C1C ,所以C1Q= 1。又 PQ∥BC,所 以 PQ= 1 4BC = 1 2 。 因 为 四 边 形 A1PQD1 为直角梯形,高D1Q = 5,故A1P= 2- 1 2 2 +5= 29 2 。 追根溯源:以特殊几何体为背景的线线 垂直关系的探索性问题,依据几何体的特殊 性质,合理选择构造一条和另一条所在的平 面垂直即可解决问题。 创新3——与空间角有关的最值问题 例3 (2019年新高考联盟考试)如 图4 图4,在四棱锥E-ABCD 中,底 面ABCD 是圆内接四边形,CB =CD=CE=1,AB=AD=AE = 3,EC⊥BD。 (1)求证:平面BED⊥平