8.品味概率统计的交汇创新问题-2020年3月刊高考数学《中学生数理化》

■湖南省耒阳市第二中学 梁光明 概率统计是历年高考的热点内容之一, 考查方式多样,难度中等,通过对基础知识的 重新组合、变式和拓展,从而加工为立意高、 情境新、设问巧、赋予时代气息、贴近学生实 际的问题。概率统计自身知识的交汇创新成 为一道亮丽的风景。 交汇1——随机变量的分布列、均值与 古典概型的交汇 例1 (2019年辽宁省辽南协作校一 模)教育部门主办了全国大学生智能汽车竞 赛,竞赛分为预赛和决赛两个阶段,参加决赛 的队伍按照抽签的方式决定出场顺序,通过 预赛,选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛。 (1)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前 两位的概率。 (2)若决赛中甲队和乙队之间间隔的队 伍数记为X,求X 的分布列和数学期望 解析:(1)设 Ω 为“五支队伍的比赛顺 序”,则n(Ω)=A55,事件A 为“甲、乙排在前 两位”,则n(A)=A22·A33,故P(A)= n(A) n(Ω) = A22·A33 A55 = 1 10 。 (2)先将甲、乙占上位置,然后再解决“甲 乙”的顺序与其他三支队伍间的顺序问题,X 的 可 能 取 值 为 0,1,2,3,P(X=0)= 4·A22·A33 A55 = 2 5 ,P(X=1)= 3·A22·A33 A55 = 3 10 ,P(X=2)= 2·A22·A33 A55 = 1 5 ,P(X=3) = 1·A22·A33 A55 = 1 10 。 所以X 的分布列为表1: 表1 X 0 1 2 3 P 25 3 10 1 5 1 10 所以E(X)=0× 2 3+1× 3 10+2× 1 5+ 3× 1 10=1 。 品味:以排列组合和概率统计知识为工 具,利用互斥事件分类,利用相互独立事件分 步,利用对立事件简化求概率,进而确定随机 变量的概率分布列和期望的应用为目的,凸 显概率统计自身的网络交互。 交汇2——统计图表、抽样方法与超几 何分布的交汇 例2 (2019年第一次全国大联考新课 标Ⅱ卷)某市场调研机构对在“双十一”购物 的n名年龄在[20,70]内的消费者进行了年 龄段和性别分布的调查,其部分结果统计如 表2: 表2 年龄(岁)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70] 女 70 50 40 30 20 男 30 m 20 15 10 (1)若按年龄用分层抽样的方法抽取84 个人,其中在[40,70]内抽取了36人,求 m 的值。 (2)在(1)的条件下,用分层抽样的方法 在[30,40)内的消费者中抽取一个容量为8 的样本,将该样本看成一个总体,从中任取3 人,记 X 表示抽得女性消费者的人数,求随 机变量X 的分布列和数学期望。 解 析:(1)由 题 意 可 得 抽 样 比 为 36 40+20+30+15+20+10 = 4 15 , 所 以 84-36 70+30+50+m= 4 15 ,解得m=30。 (2)用分层抽样的方法在[30,40)内抽取 一个容量为8的样本,设抽取男性消费者的 人数为x,所以 30 50+30= x 8 ,解得x=3。所 02 解题篇 创新题追根溯源 高考使用 2020年3月 以抽取的男性消费者有3人,女性消费者有5 人,所以X 的可能取值是0,1,2,3,则P(X =0)= C33 C38 = 1 56 ,P(X=1)= C23C15 C38 = 15 56 ,P(X =2)= C13C25 C38 = 30 56 ,P(X=3)= C35 C38 = 10 56 。 所以随机变量X 的分布列为表3: 表3 X 0 1 2 3 P 156 15 56 15 28 5 28 所以E(X)=0× 1 56+1× 15 56+2× 15 28+ 3× 5 28= 15 8 。 品味:反 馈 表 格 信 息,由 抽 样 比 确 定 元 素,构建超几何模型求分布列和期望,超几何 分布就是在理解随机变量的意义下,把元素 自然分成两组,利用组合数和古典概型概率 公式得到分布列的一个通项公式。首先,利 用组合数求基本事件的总数n;其次,利用组 合数求所求概率事件中含有多少个基本事件 m;最 后,利 用 古 典 概 型 概 率 公 式 P= m n 表示。 交汇3——表格信息与线性回归及概率 的交汇 例3 (贵州遵义市2019届高三第一 次联考)某农科所对冬季昼夜温差大小与某 反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行 分析研究,他们分别记录了12月1日至12 月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100 颗种子中的发芽数,得到表4中的数据: 表4 日期 12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日 温差x(℃) 10 11 13 12 8 发芽数y(颗) 23 25