9.君子以思患而豫防之——三角函数与解三角形易错题归类剖析-2020年3月刊高考数学《中学生数理化》

■江苏省丹阳高级中学 尹丹青 三角函数与解三角形是高考不可或缺的 内容,从近几年的考题来看,题目的难度都在 中档或者中档以下,属于同学们有信心和实 力拿下的板块。但是事实上,从得分情况来 看,似乎不容乐观。那么问题出在哪里呢? 究其原因,主要是因为同学们对三角公式、定 理不熟悉,不清楚所记住的公式应该什么时 候使用,使用的时候应该注意些什么,导致丢 分严重。还有一个常见的问题就是看不清题 目所给的隐含条件,导致“会而不对,对而不 全”! 这些其实是可以规避的,是可以解决 的。下面就几种容易出现的问题为例,对易 错题进行归类剖析。 一、在对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像 进行变换时容易出现错误 例1 函数y= 3sin 2x-cos 2x 的图 像向右平移φ 0<φ< π 2 个单位长度后,得 到函数g(x)的图像,若函数g(x)为偶函数, 则φ的值为( )。 A. π 12 B. π 6 C. π 4 D. π 3 解析:由题意知y= 3sin 2x-cos 2x= 2sin2x- π 6 ,其图像向右平移φ 个单位长 度后,得到函数g(x)=2sin2x-2φ- π 6 的 图像。因为g(x)为偶函数,所以2φ+ π 6= π 2+kπ ,k∈Z,所以φ= π 6+ kπ 2 ,k∈Z。又因 为φ∈ 0, π 2 ,所以φ=π6。故选B。 评注:三 角 函 数 图 像 变 换 中 的 三 个 注 意点: (1)变换前后,函数的名称要一致,若不 一致,应先利用诱导公式转化为同名函数; (2)要弄清变换的方向,即变换是由哪个 函数的图像,得到的是哪个函数的图像,切不 可弄错方向; (3)要弄准变换量的大小,特别是 平 移 变换中,函 数y=Asin x 到y=Asin(x+ φ)的 变 换 量 是|φ|个 单 位,而 函 数 y= Asin ωx 到y=Asin (ωx+φ)时,变换量是 φ ω 个单位。 二、求函数单调区间时容易出现错误 例2 函数g(x)=-cos-2x+π3 x∈ - π 2 ,π 2 的单调递增区间为 。 解析:g (x)= -cos -2x+ π 3 = -cos2x- π 3 ,欲求函数g(x)的单调递增 区间,只需求函数y=cos2x- π 3 的单调递 减区间。由2kπ≤2x- π 3≤2kπ+π (k∈Z), 得kπ+ π 6≤x≤kπ+ 2π 3 (k∈Z)。故函数 g(x) 的 单 调 递 增 区 间 为 kπ+ π 6 ,kπ+ 2π 3 (k∈Z)。又 因 为 x ∈ - π 2 ,π 2 ,所以函数g(x)的单调递增区间 为 - π 2 ,- π 3 , π6,π2 。 故 答 案 为 - π 2 ,- π 3 ,π6,π2 。 评注:(1)正、余弦函数一个完整的单调 区间的长度是半个周期;y=tan x 无单调递 减区间;y=tan x 在整个定义域内不单调。 22 解题篇 易错题归类剖析 高考使用 2020年3月 (2)在求函数y=Asin(ωx+φ)的单调 区间时要注意A 和ω 的符号,尽量化成ω>0 的形式,避免出现增减区间的混淆。 三、当“给值求角”时容易出现错误 例3 若sin 2α= 5 5 ,sin(β-α)= 10 10 ,且α∈ π4 ,π ,β∈ π,3π2 ,则α+β的 值是( )。 A. 7π 4 B. 9π 4 C. 5π 4 或 7π 4 D. 5π 4 或 9π 4 解 析:因 为 α∈ π4 ,π ,所 以 2α∈ π 2 ,2π 。又因为sin 2α= 5 5 ,所 以2α∈ π 2 ,π ,即 α∈ π4,π2 ,可 得 cos 2α= - 25 5 。又 因 为 sin(β-α)= 10 10 ,β∈ π, 3π 2 ,所以β-α∈ π2,5π4 ,则cos(β-α) =- 3 10 10 。 所以cos(α+β)=cos[(β-α)+2α]= cos(β-α)cos 2α-sin(β-α)sin 2α= - 3 10 10 × -255 - 1010 × 55= 22。 又因为α+β∈ 5π 4 ,2π ,所以α+β= 7π 4 。故选A。 评注:三角函数“给值求角”问题的解题 策略: (1)根据已知条件,选取合适的三角函数 求值。 ①已知正切函数值,选正切函数。 ②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函 数。若角的范围是 0, π 2 ,选正、余弦函数皆 可;若角的范围是(0,π),选余弦函数较好;若 角的范围是 - π 2 ,π 2