10.概率统计易错问题分类剖析-2020年3月刊高考数学《中学生数理化》

■扬州大学数学科学院 张雨嫣 在概率统计学习中,同学们由于对概念 理解不透、审题不严、考虑不周或忽视公式成 立的条件等产生思维混乱,导致求解中出现 “多解”或“漏解”等失误。本文对概率统计中 常见的易错、易混、易忘的典型题归类整理, 并进行错解剖析和警示展示,希望对同学们 的学习能有所帮助。 误区1——概率计算时混淆抽取中的 “有放回”与“无放回” 例1 把大小和形状完全相同的五个 小球编号为1,2,3,4,5,放在一个箱子中充 分混合,有放回地抽取两次,求取出编号为2 和4的小球的概率。 错解1:取出的两个小球的所有可能结 果为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2, 3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3, 5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5, 2),(5,3),(5,4),共20种可能情况,每种情 况都等可能出现。事件A“取出的是编号为 2和4的小球”对应于基本事件(2,4)和(4, 2),故所求概率P(A)= 2 20= 1 10 。 错解2:有放回地连续抽取两次,所有可 能结果为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,3),(3,4), (3,5),(4,4),(4,5),(5,5),共15种情况。 事件A“取出的是编号为2和4的小球”对应 于基本事件(2,4),共1种可能情况,故所求 概率P(A)= 1 15 。 错解剖析:本题是有放回地抽取小球,且 抽取两次小球是有序的。错解1中忽略了 (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)这5种情 况。错解2中忽略了抽取两次小球是有顺序 的,即(1,2)和(2,1)表示的是不同的事件。 正解:有放回地连续抽取两次,必须考虑 抽取顺序,所有可能结果为5×5=25(种), 事件A“取出的是编号为2和4的小球”对应 的基本事件为(2,4)和(4,2),故所求概率 P(A)= 2 25 。 警示:有放回抽样必须考虑抽取顺序,无 放回抽样可以考虑抽取顺序,也可以不考虑 抽取顺序,当作一次性抽取。常常构建有序 实数对的基本事 件 空 间 使“无 序”转 化 为 “有序”。 误区2——随机变量 ξ 取值出错导致分 布列所有事件概率和不为1 例2 某地最近出台一项机动车驾照 考试规定:每位考试者一年之内最多有四次 参加考试的机会,一旦某次考试通过,便可领 取驾照,不再参加以后的考试,否则就一直考 到第四次为止。如果李明决定参加驾照考 试,设他每次参加考试通过的概率依次为 0.6,0.7,0.8,0.9。求在一年内李明参加驾 照考试的次数X 的分布列。 错解:随机变量 X 可取1,2,3,4,P(X =1)=0.6,P(X=2)=0.4×0.7=0.28, P(X=3)=0.4×0.3×0.8=0.096,P(X= 4)=0.4×0.3×0.2×0.9=0.021 6。 所以李明参加驾照考试的次数 X 的分 布列为表1: 表1 X 1 2 3 4 P 0.6 0.28 0.096 0.021 6 错解剖析:对事件“X=4”不理解,导致 所求分布列中的所有事件的概率和不为1, “X=4”表示李明前3次均没通过,而第4次 可能通过也有可能不通过。 正解:随 机 变 量 X 可 取1,2,3,4,则 P(X=1)=0.6,P(X=2)=0.4×0.7= 0.28,P(X=3)=0.4×0.3×0.8=0.096, P(X=4)=0.4×0.3×0.2×(0.9+0.1)= 42 解题篇 易错题归类剖析 高考使用 2020年3月 0.024或利用性质求解P(X=4)=1-P(X =1)-P(X=2)-P(X=3)=0.024。 所以李明参加驾照考试的次数 X 的分 布列为表2: 表2 X 1 2 3 4 P 0.6 0.28 0.096 0.024 警示:在确定随机变量取值时,找出关键 词,理解随机变量ξ的实际意义;准确列出随 机变量ξ的所有可能取值,且注意ξ=0是否 符合题意,只有这样才可避免出错;有时可用 概率分布列性质p1+p2+p3+…+pn=1 检验分类是否完备或简化求解某个取值的 概率。 误区3——混淆二项分布与超几何分布 例3 (2019年枣庄市高三期末)已知 甲、乙两名篮球运动员每次投篮命中的概率 分别为 1 2 、p,甲、乙每次投篮是否投中相互 之间没有影响,乙投篮3次均未命中的概率 为 1 27 。 (1)求p 的值; (2)若甲投篮1次、乙投篮2次,两人投 篮命中次数的和记为X,求X 的分布列和数 学期望E(X)。 错解:(1)乙投篮