内容正文:
警示:设在每次试验中成功的概率都为
p,在n次重复试验中,试验成功的次数用ξ
来表示,则ξ服从二项分布。在n 次试验中
恰好成功k次的概率为P(ξ=k)=Cknpk(1-
p)n-k,则E(ξ)=np,D(ξ)=np(1-p)。超
几何分布是在理解随机变量的意义下,把元
素自然分成2组,利用组合数和古典概型概
率公式得到分布列的一个通项公式,其本质
是“不放回抽样”,是一种古典概型,而二项分
布的随机实验是“独立重复实验”,强调每次
实验的结果发生的概率相同,可认为是“有放
回抽样”。 (责任编辑 王福华)
■广西来宾高级中学 覃尚猷 罗继兴 杨 佶
数列是高中数学的一个重要模块,也与
高等数学有一定的联系,是高考的高频考点,
主要考查两方面的内容:一是数列的基本概
念、性质;二是数列的运算。大部分题目难度
不大,但容易出现失误丢分,现将数列常见陷
阱和易错问题进行归类,给同学们一些提醒,
从而有效避免陷阱,不失分。
例1 若数列{an}的前n 项和Sn=
n2-2n+2,则数列{an}的通项公式为 。
错解:an=Sn-Sn-1=2n-3。
错因剖析:给出Sn 与an 的递推关系,求
an,常用思路是分三步:第一步,当n=1时,
a1=S1,这一步易忽略;第二步,当n≥2时,
利用an=Sn-Sn-1,求其通项公式;第三步,
检验。
正解:当n=1时,a1=S1=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-3。
所以an=
1(n=1),
2n-3(n≥2)。
例2 求f(n)=3+33+35+…+32n+1
的值。
错解:f(n)=
3(1-9n)
1-9 =
32n+1-3
8
。
错因剖析:32n+1 是首项为3,公比为9的
等比数列的第n+1项,而不是第n 项,所以
f(n)是前n+1项的和,而不是前n项的和。
正解:f(n)=
3(1-9n+1)
1-9 =
32n+3-3
8
。
例3 已知数列{an}中,an=xn,则数
列{an}的前n项和Sn= 。
错解:{an}是等比数列,a1=x,公比q=
x,所以Sn=
x(1-xn)
1-x
。
错因剖析:对等比数列的基本概念理解
不透,没有对x 进行分类讨论。
正解:当x=0时,Sn=0;当x=1时,
Sn=n;当x≠0,1时,Sn=
x(1-xn)
1-x
。
例4 已知数列{an}的前n项和为Sn,
公差d≠0,且Sn=
n(n+1)
2
。
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=
1
anan+2
,求数列{bn}的前n 项
和Tn。
易求第(1)问的答案为an=n。
错解:(2)因为bn=
1
anan+2
=
1
n(n+2)=
1
2
1
n-
1
n+2 , 所 以 Tn =
1
2 1-
1
3 + 12-14 +…+ 1n- 1n+2
=
1
2 1+
1
2+
1
n-
1
n+2 = 32n(n+2)。
错因剖析:裂项相消求和法,注意裂项之
后,能相消的有哪些项,留下的有哪些项,这
道题是隔项相消,容易出错。
正解:(2)bn=
1
n(n+2)=
1
2
1
n-
1
n+2 ,
则Tn=
1
2 1-
1
3 + 12-14 + 13-15
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解题篇 易错题归类剖析
高考使用 2020年3月
+…+ 1n-
1
n+2 =12 1+12- 1n+1-
1
n+2 =34- 2n+32(n+1)(n+2)。
例5 已知-1,b1,b2,b3,-9成等比
数列,则b2=( )。
A.3 B.-3 C.±3 D.4
错解:由已知得-1,b2,-9也成等比数
列,所以b22=9,即b2=±3。故选C。
错因剖析:由已知可得b2,b3,-9也成
等比数列,所以b23=-9b2,所以b2 只能取
负值。
正解:选B。
例6 已知两个等差数列{an},{bn}的
前n 项和分别为Sn,Tn,且
Sn
Tn
=
5n+1
3n+5
,求
a6
b6
。
错解:由Sn
Tn
=
5n+1
3n+5
,设Sn=(5n+1)k,
Tn=(3n+5)k。
则a6=S6-S5=(5×6+1)k-(5×5+
1)k=5k;
b6=T6-T5=(3×6+5)k-(3×5+5)·
k=3k。
所以
a6
a5
=
5k
3k=
5
3
。
错因剖析:设Sn=(5n+1)k,Tn=(3n
+5)k,可以使
Sn
Tn
=
5n+1
3n+5
成立,但是相对于
变量来说,k是常数,故S