12.立体几何中的典型错例精析-2020年3月刊高考数学《中学生数理化》

■安徽省利辛高级中学 胡 彬 立体几何是高中数学的主体内容之一, 也是高考重点考查的核心内容之一,在学习 与备考立体几何的过程中,我们有时会遇到 一些知识性或逻辑性错误,此类问题往往是 由于没有熟练掌握某些知识或没有严格依题 进行演绎推理产生的,从而给解题带来障碍 或错解。下面针对立体几何中常见的易错题 进行分类精析,以期达到抛砖引玉之功效。 易错题型一、空间几何体的三视图 考点精析:(1)已知几何体画三视图时要 坚持以下原则:①长对正,即正视图与俯视图 的长相等;②高平齐,即正视图与侧视图的高 相等;③宽相等,即侧视图与俯视图的宽相 等。(2)由三视图判断几何体的形状的常用 方法:①根据正视图、侧视图确定是柱体、锥 体还是组合体;②由俯视图确定几何体的摆 放位置;③掌握常见的简单组合体的三视图, 在俯视图的基础上,结合三视图综合判断几 何体。 典例1 一个由半球和四棱锥组成的 几何体,其三视图如图1所示,则该几何体的 体积为( )。 图1 A. 1 3+ 2π 3 B. 1 3+ 2π 3 C. 1 3+ 2π 6 D.1+ 2π 6 解析:由三视图可知四 棱锥为正四棱锥,底面正方形的边长为1,四 棱锥的高为1,球的直径为正四棱锥底面正 方形的外接圆的直径,所以球的直径2R= 2,则R= 2 2 ,所以半球的体积为2 3πR 3= 2 6π ,又正四棱锥的体积为1 3×1 2×1= 1 3 ,所 以该几何体的体积为 1 3+ 2 6π 。故选C。 易错警示:错误地从正视图中得到球的 半径R= 1 2 ,计算后无选项;误以为R=1,计 算后错选A;错用半球的体积为球的体积,错 选B;错用四棱锥的体积公式为底面积乘高, 错选D。 评注:解决本题的关键是快速准确地得 到几何体的直观图,选准公式,计算准确。不 能根据三视图还原出空间几何体和不清楚几 何体中的线面等位置关系,不能根据“长对 正、高平齐、宽相等”原则得出有关线段的长 度,都容易导致计算出错。 易错题型二、折叠问题易出错 考点精析:解决由平面图形翻折为空间 图形问题的关键是看翻折前后两图形中对应 几何元素的位置关系和数量关系,哪些发生 了变化,哪些没有发生变化,这些变和不变的 量反映了翻折后的空间图形的结构特征。另 外,在立体几何中找平行线是解决问题的一 个重要技巧,隐含垂直关系也是关注点之一。 典例2 如图2,已知菱形ABCD 的对角 图2 线AC 与BD 交于 点O,点E,F 分别 在AD,CD 上,AE =CF,EF 交 BD 于点 H,将△DEF 沿EF 翻折到△D' EF的位置。 (1)证明:AC⊥HD'; (2)若AB=5,AC=6,AE= 5 4 ,OD'= 22,求五棱锥D'-ABCFE 的体积。 82 解题篇 易错题归类剖析 高考使用 2020年3月 解析:(1)由已知,得 AC⊥BD,AD= CD。由AE=CF,得 AE AD= CF CD ,故AC∥EF。 由此得 EF⊥HD,EF⊥HD',所以 AC⊥ HD'。 (2)由EF∥AC,得 OH DO= AE AD= 1 4 。由 AB=5,AC=6,得DO=BO= AB2-AO2 =4,所以OH=1,D'H=DH=3。 于是OD'2+OH2=(2 2)2+12=9= D'H2,故OD'⊥OH。 由(1)知,AC⊥HD'。又AC⊥BD,BD ∩HD'=H,所以 AC⊥平面 BHD',于是 AC⊥OD'。 又因为OD'⊥OH,AC∩OH=O,所以 OD'⊥平面ABC。 由 EF AC= DH DO ,得EF= 9 2 。 所以五边形 ABCFE 的面积S= 1 2× 6×8- 1 2× 9 2×3= 69 4 。 所以 五 棱 锥 D'-ABCFE 的 体 积 V= 1 3× 69 4×22= 232 2 。 易错警示:对于第(1)问,由于△DEF 翻 折前后,EF⊥DH,EF⊥D'H 成立,显然,证 明EF∥AC 是解决问题的关键。对于第(2) 问,由EF∥AC 易知 OH DO= 1 4 ,又DO=BO= 4,从而得OH=1,DH=3,根据折叠前后同 一平面内的位置关系、数量关系不变性易知 D'H=3,再由OH2+D'O2=D'H2,得D'O ⊥OH 是突破此问题的核心。同时,也是造 成知识性错误的成因所在,即平面图形折成 空间图形后的位置关系不明;数量关系转化 不正确。 评注:折叠前后图形要比较;谁变与不变要 知道;平面图形定理少不了,“平行”桥梁是通 道;抓住隐藏“垂直”跑不了;合理转化显真招。 易错题型三、空间角与向量所成角的关 系问题 考点精析:空间角主要有异面直线所成 的角、直线与平面所成的角及二面角。异面 直线所成的角是指经过空间任意一点作两