13.求二面角时如何正确应对各种特殊情况-2020年3月刊高考数学《中学生数理化》

■江苏省江都中学 王志远 一、正确处理求二面角问题中的探索性 问题 例1 如 图 1,在 梯 形 ABCD 中, ∠DAB=∠ABC= π 2 ,AB=BC=2AD=4, E,F 分别是AB,CD 上的点, |AE→| |AB→| = |DF→| |DC→| =λ(0<λ<1),G 是BC 的中点,现沿EF 将 四边形AEFD 折起,使AE⊥BE,EG⊥BD, 如图2。 图1 图2 (1)求证:平面AEFD⊥平面BEFC; (2)确定λ的值,并计算二面角D-BF-C 的余弦值。 解析:(1)在图1中,∠DAB=∠ABC= 90°,所以 AB⊥BC,AB⊥AD。因为 AE EB= DF FC ,所以EF∥BC∥AD,所以AE⊥EF。在 图2中,由AE⊥BE 及AE⊥EF,BE∩EF =E,得 AE⊥平面 BEFC。又 AE⊂平面 AEFD,所以平面AEFD⊥平面BEFC。 图3 (2)由(1)知EA,EB,EF 两两垂直,建立以E 为空间坐 标原点,EB→,EF→,EA→ 分别为 x,y,z 轴的空间直角坐标系, 如图3。 由 |AE→| |AB→| = |DF→| |DC→| =λ 及 AB=BC=2AD=4,可得E(0,0,0),B(4- 4λ,0,0),C(4-4λ,4,0),G(4-4λ,2,0), D(0,2,4λ),所以BD→=(4λ-4,2,4λ),EG→= (4-4λ,2,0)。 因为EG→⊥BD→,所以-(4λ-4)2+4=0, 解得λ= 1 2<1 ,即 A(0,0,2),B(2,0,0), D(0,2,2),F(0,3,0),所以 BF→=(-2,3, 0),BD→=(-2,2,2)。 设平面DBF 的一个法向量为n1=(x, y,z),由n1·BD→=0,n1·BF→=0,得n1= (3,2,1)。 又平面BCF 的一个法向量n2=(0,0, 1),所以cos<n1,n2>= n1·n2 |n1|·|n2| = 14 14 。 又因为二面角 D-BF-C 的平面角为钝 角,所以其二面角的余弦值为- 14 14 。 评注:该题所探索的问题体现于“确定λ 的值”,是 通 过 EG→⊥BD→,从 而 建 立 方 程 -(4λ-4)2+4=0来解决的。总之,空间向 量最适合于解决这类立体几何中的探索性问 题,它无需进行复杂的作图、论证、推理,只需 通过坐标运算进行判断。解题时,把要成立 的结论当作条件,据此列方程或方程组,把 “是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解, 是否有规定范围的解”等,使问题的解决更简 单、有效,同学们应善于运用这一方法解题。 二、正确处理最值条件下如何求二面角 问题 图4 例2 已知△ABC 是等 腰直角三角形,∠ACB=90°, AC=2a,D,E 分 别 为 AC, AB 的中点,沿 DE 将△ADE 折起,得到如图4所示的四棱 锥A'-BCDE。 (1)在棱A'B 上找一点F,使EF∥平面 A'CD; (2)当四棱锥 A'-BCDE 的体积取最大 值时,求平面A'CD 与平面A'BE 夹角的余 弦值。 13 解题篇 经典题突破方法 高考使用 2020年3月 $$