14.热点解析——如何解答数表类数列题型-2020年3月刊高考数学《中学生数理化》

图5 图6 􀤕􀤕􀤕􀤕􀤕􀤕􀤕􀤕􀤕􀤕􀤕􀤕􀤕􀤕􀤕􀤕􀤕􀤕􀤕􀤕􀤕􀤕􀤕􀤕􀤕􀤕􀤕􀤕􀤕􀤕􀤕􀤕􀤕􀤕􀤕􀤕􀤕􀤕􀤕􀤕􀤕􀤕􀤕 解析:(1)F 为棱A'B 的 中点。证明如下:如图5所示, 取A'C 的中点G,连接 DG, EF,GF,则由中位线定理可得 DE∥BC,DE = 1 2BC ,且 GF∥BC,GF= 1 2BC ,所以 DE∥GF,DE= GF,从而四边形DEFG 是平行四边形,所以 EF∥DG。 又因为 EF⊄平面 A'CD,DG⊂平面 A'CD,故F 为棱A'B 的中点时,EF∥平面 A'CD。 (2)在平面A'CD 内作A'H⊥CD 于点 H, DE⊥A'D, DE⊥CD, A'D∩CD=D 􀮦 􀮨 􀮧 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ⇒DE⊥ 平 面 A'CD ⇒ DE⊥A'H。 又因为DE∩CD=D,所以A'H⊥底面 BCDE,即A'H 就是四棱锥A'-BCDE 的高, 由A'H≤AD 知,点 H 和D 重合时,四棱锥 A'-BCDE 的体积取最大值。 以D 为原点,DC,DE,DA'所在直线为 x,y,z 轴,建立如图6所示的空间直角坐标 系,则A'(0,0,a),B(a,2a,0),E(0,a,0), A'B→=(a,2a,-a),A'E→=(0,a,-a)。 设平面 A'BE 的法向量为m=(x,y, z ), 由 m·A'B→=0, m·A'E→=0, 得 ax+2ay-az=0, ay-az=0, 即 x+2y-z=0, y=z, 可 取 m = (-1,1,1)。 同理可以求得平面A'CD 的一个法向量 n=(0,1,0)。 故 cos <m,n > = m·n |m|·|n| = -1×0+1×1+1×0 3×1 = 3 3 ,即平面A'CD 与 平面A'BE 夹角的余弦值为 3 3 。 评注:立体几何中的综合应用问题常涉 及最值问题,处理时有如下两种方法:(1)结 合条件 与 图 形 恰 当 分 析 取 得 最 值 的 条 件; (2)直接建系后,表示出最值函数,转化为求 最值问题。 (责任编辑 王福华) ■江苏省扬州市江都区育才中学 王 林 数表类数列题型是当今高考的一个热点 题型,因为它既可以考查我们对数列知识的 探究能力,又可以考查我们对数列知识的驾 驭能力。另外,解答这类题型有一点必须要 强调,那就是绝大多数这类问题应该紧紧围 绕数列的通项公式来思考与解答。 一、求数值表格中指定位置的某些项 例1 在如表1所示的5×5正方形的 25个空格中填入正整数,使得每一行,每一 列都成等差数列,问:必须填进标有*号的空 格的数是 。 表1 * 74 2y 186 y 103 0 x 2x 解析:记aij 为从上到下第i行,从左到 右第j列的格所填的数,则a52=x,a41=y。 由第3行得a33= 2y+186 2 ,由第3列得 23 解题篇 经典题突破方法 高考使用 2020年3月 a33=2×103-2x,所以2x+y=113。 ① 由第2行得a23=2×74-3y,由第3列 得a23=2a33-103=3×103-4x,所以148- 3y=309-4x,即4x-3y=161。 ② 由①②解得x=50,y=13。 所以a15=2×186-a55=2×186-4x= 172,a13=2a33-a53=112,a14= a13+a15 2 = 142,故标有*号的空格应填142。 解题指导:确定数值表格中指定位置的 某些项这类题型,大致可以分为两类:一类是 归纳表格中所给数值的规律,从而获得通项 公式,再由通项公式来确定表格所要求的某 些项;另一类就是通过表格中某些给定的具 体数值,获取所求项之间的直接关系,从而建 立关于所求项的方程,进而解出。 二、求所给数表中所有项的和 例2 如图1,在杨辉三角形中,从上往 下共有n(n∈N*)行,其中非1的数字之和是 。 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 … … 图1 解析:第1行数字和为1,第2行数字和 为2,第3行数字和为4,…,第n行数字和为 2n-1,于是所有数字和Sn=1+2+22+…+ 2n-1=2n-1,数表里共有2n-1个1,故非1 的数字和为2n-1-(2n-1)=2n-2n。 解题指导:该题实际上是求一个数列前 n项的和,只要把前n 项的和Sn 求出来,再 减去2n-1个1,就是我们的所求。但是,要 求一个数列前n项的和就必须先求数列的通 项公式,比如该题中“第n 行数字和为2n-1” 就是在做这个工作。所以解答这类问题还是 要归纳某