15.问渠哪得清如许，为有源头活水来——三角函数与解三角形经典题突破-2020年3月刊高考数学《中学生数理化》

———三角函数与解三角形经典题突破 ■江苏省丹阳高级中学 栾 竞 三角函数与解三角形是高考的必考内 容,有小题也有大题,属于中档题,但是也有 很多同学得不了“全分”。究其原因,可能是 因为学习的知识不够扎实;也有可能是对三 角公式不熟悉,对三角函数单调性、值域、最 值、周期的求解方法掌握不牢;也有可能是忽 略了三角形中的隐含条件,而导致的错误。 总之,没有得到满分,一定是出现了问题,那 就应该想办法解决。常言道:“预则立,不预 则废”,今天就让我们在经典中再现细节,在 经典中体会细节,在经典中解决问题吧! 一、三角恒等变换及求值问题 例1 已知sin α= 5 5 ,sin(α-β)= - 10 10 ,α,β均为锐角,则β等于( )。 A. 5π 12 B. π 3 C. π 4 D. π 6 解析:因为α,β均为锐角,所以0<α< π 2 ,0<β< π 2 ,所以- π 2<α-β< π 2 。 又sin(α-β)=- 10 10 ,所以cos(α-β) = 3 10 10 。又sin α= 5 5 ,所以cos α= 25 5 。 所以sin β=sin[α-(α-β)]=sin α· cos(α-β)-cos αsin(α-β)= 5 5× 3 10 10 - 25 5 × - 10 10 = 22,所以β=π4。 方法突破:(1)三角变换的关键在于对两 角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角公 式,三角恒等变换公式的熟记和灵活应用,要 善于观察各个角之间的联系,发现题目所给 条件与恒等变换公式的联系。(2)求角的问 题要注意角的范围,要根据已知条件将所求 角的范围尽量缩小,避免产生增解。(3)应用 诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的 符号;利用同角三角函数的关系化简时要遵 循一定的原则,如化切为弦、化异为同、化高 为低、化繁为简等。 二、三角函数的图像与应用 图1 例 2 设 函 数 y = sin ωx(ω>0)的最小正周期 是 T,将 其 图 像 向 左 平 移 1 4T 后,得到的图像如图1 所示,则函数y=sin ωx(ω>0)的单调递增 区间是( )。 A.7kπ6 - 7π 24 ,7kπ 6 + 7π 24 (k∈Z) B.7kπ3 - 7π 24 ,7kπ 3 + 7π 24 (k∈Z) C.7kπ3 - 7π 12 ,7kπ 3 + 7π 12 (k∈Z) D.7kπ6 + 7π 24 ,7kπ 6 + 21π 24 (k∈Z) 解析:由题可知,y=sin ωx(ω>0)的最 小正周期是2× 7π 12= 7π 6 ,所以2π ω= 7π 6 ,解得 ω= 12 7 ,所以 y=sin 12 7x 。由2kπ- π 2≤ 12 7x≤2kπ+ π 2 得到函数y=sin ωx(ω>0)的 单调递增区间是 7kπ 6 - 7π 24 ,7kπ 6 + 7π 24 (k∈ Z)。故选A。 方法突破:(1)已知函数y=Asin(ωx+ φ)(A>0,ω>0)的图像求解析式时,常采用 待定系数法,由图中的最高点、最低点或特殊 点求A;由函数的周期确定ω;确定φ 常根据 “五点法”中的五个点求解,一般是将第一个 零点作为突破口,可以从图像的升降找准第 一个零点的位置。(2)在图像变换过程中应 分清是先相位变换,还是先周期变换。变换 只是相对于其中的自变量x 而言的,如果x 的系数不是1,就要把这个系数提取后再确 43 解题篇 经典题突破方法 高考使用 2020年3月 定变换的单位长度和方向。 三、利用正弦或余弦定理解三角形问题 例3 在锐角△ABC 中,角A,B,C 所 对的 边 分 别 为a,b,c,且 满 足 acos C= (2b-c)cos A。 (1)求角A; (2)若a=7,S△ABC=103,求b+c的值。 解析:(1)由正弦定理可得a=2Rsin A, b=2Rsin B,c=2Rsin C。由acos C=(2b-c)· cos A,得sin Acos C=(2sin B-sin C)cos A, 即sin Acos C+cos Asin C=2sin Bcos A,所 以sin(A+C)=2sin Bcos A,即sin B= 2sin Bcos A。因为sin B≠0,所以cos A= 1 2 ,而0<A< π 2 ,所以A= π 3 。 (2)由 S△ABC =10 3,得 1 2bcsin π 3= 103,所以bc=40。由余弦定理可得b2+ c2-2bccos π 3=