16.归来一只复一只，三四五六七八只——数列经典题突破-2020年3月刊高考数学《中学生数理化》

■江苏省口岸中学 施恂栋 等差数列与等比数列是两类特殊数列, 又是两类特殊的函数,这种双重身份,注定它 们必然是高考中的重点,所以在学习中,要从 “函数”及“数列”这两个方面来认识它们。高 考中数列的考查形式主要有等差数列、等比 数列的实际应用,以及等差数列、等比数列与 其他知识的综合。在复习中,要合理利用“基 本量法”,灵活应用数列的“对称性”,解题过 程中通常要用到两类数学思想:分类讨论思 想、函数与方程思想。 一、等差数列及其性质 例1 已知等差数列{an}满足a1+ a3+a5+a7+a9=10,a28-a22=36,则a11 的 值为 。 解析:设等差数列{an}的公差为d,由 a28-a22=36得6a5d=18。由a1+a3+a5+ a7+a9=10得a5=2。从而6d=9,a11= a5+6d=2+9=11。 方法突破:在解数列填空题时,记住一些 常见的结论可以大大提高解题速度。例如: (1)在等差数列{an}中,若 m,n,p,q∈N*, 且m+n=p+q,则am+an=ap+aq;(2)在 等差数列{an}中,若公差为d,且m,n∈N*, 则am=an+(m-n)d。 例2 已知等差数列{an}的公差为d (d≠0),前n 项和为Sn,且数列{ Sn+n} 也是公差为d 的等差数列,则d= 。 解析:在等差数列{an}中,Sn= d 2n 2+ Bn,其中d,B 为常数,d 是公差。设Sn= d 2n 2+Bn, Sn+n=dn+f,可得 d 2n 2+ (B+1)n=(dn+f)2 对n∈N*恒成立,所以 d 2=d 2。又d≠0,则d= 1 2 。 方法突破:若等差数列{an}的公差为d, 则Sn= n(a1+an) 2 =na1+ n(n-1) 2 d= d 2n 2 + a1- d 2 n,可以简化问题,减少运算量。 二、等比数列及性质 例3 已知等比数列{an}为单调递增 数列,设其前n 项和为Sn,若a2=2,S3=7, 则a5 的值为 。 解析:(基本量为a1,q)设an=a1·qn-1, 则a2=a1·q=2,即a1= 2 q ,所以S3=a1· (q2+q+1)=7,即 2 q ·(q2+q+1)=2q+2 + 2 q =7,即q+ 1 q = 5 2 ,解得q=2或q= 1 2 (数列单调递减,舍),则a5=a1·q4=16。 (基本量为a2,q)设公比为q,则S3= 2 q +2+2q=7,解得q=2或q= 1 2 (数列单 调递减,舍),则a5=a2·q3=16。 很明显基本量为a2,q 时运算量要小一 些,所以要选择适当的基本量进行运算。 方法突破:等差、等比数列基本量的计算 是高考常考题型,熟练掌握等差、等比数列的 通项公式和前n 项和公式是解题的关键,值 得注意 的 是 等 比 数 列 的 通 项 公 式 的 推 广 “an=amqn-m(n>m)”的应用。 例4 在公比为q 且各项均为正数的 等比数列{an}中,Sn 为{an}的前n 项和。若 a1= 1 q2 ,且S5=S2+2,则q的值为 。 解析:由题意得an=qn-3(q>0),因为 Sn 为{an}的前n 项和且S5=S2+2,所以 S5-S2-2=0,即a3+a4+a5-2=0,整理 得q2+q-1=0,解 得q= 5-1 2 或 q= - 5-1 2 (舍)。 方法突破:本题如果利用等比数列的前 n项和求解,一方面,计算麻烦;另一方面,必 须对公比q是否等于1进行分类讨论。 63 解题篇 经典题突破方法 高考使用 2020年3月 三、数列综合问题 例5 已知数列{an}是公差为正数的 等差数列,其前n项和为Sn,且a2·a3=15, S4=16。 (1)求数列{an}的通项公式。 (2)设数列{bn}满足b1=a1,bn+1-bn= 1 an·an+1 ,求数列{bn}的通项公式。 解析:(1)设数列{an}的公差为 d,则 d>0。 由 a2 · a3 = 15,S4 = 16,得 (a1+d)(a1+2d)=15, 4a1+6d=16, 解 得 a1=1 , d=2 或 a1=7, d=-2 (舍去),所以an=2n-1。 (2)因为b1=a1=1,bn+1-bn= 1 an·an+1 = 1 (2n-1)·(2n+1)= 1 2 · 1 2n-1- 1 2n+1 , 即 b2 - b1 = 1 2 1- 1 3 ,b3 - b2 = 1 2 1 3- 1 5 ,…,bn-bn-1=12 12n-3- 12n-1 , n≥2,累 加 得 bn -b1= 1 2 1- 1 2n-1 = n-1 2n-1 ,所以bn= 3n-2 2n-1 。 又