17.方圆之间自由天地——空间几何经典题突破-2020年3月刊高考数学《中学生数理化》

———空间几何经典题突破 ■甘肃省嘉峪关市第一中学 卢会玉 空间几何是高中数学知识体系中的重要 知识模块,也是高考的必考内容,考试的试题 一般具有较强的综合性与交汇性,考查的难度 和题量相对比较稳定,属于中档题。在选择或 填空题中,通常是从空间几何体的表面积、体 积,以及空间中点、线、面之间的位置关系等方 面进行考查;在解答题中,通常以棱柱或棱锥 为载体,考查空间中直线与直线、直线与平面、 平面与平面之间的位置关系,一般采用分步设 问的方式,进行定性和定量的考查。不论是哪 种题型,都在不同程度上考查同学们的直观想 象、逻辑推理、数学运算等核心素养。 下面就以几个典型的问题对空间几何问 题做进一步的研究。 一、线、面位置关系与体积、面积的计 算问题 例1 如图1,四边形ABCD 为菱形,G 为AC 与BD 的交点,BE⊥平面ABCD。 图1 (1)证明:平面AEC⊥平面 BED; (2)若∠ABC=120°,AE ⊥EC,三棱锥 E-ACD 的体积 为 6 3 ,求该三棱锥的侧面积。 解析:(1)因为四边形ABCD 为菱形,所 以AC⊥BD。因为BE⊥平面ABCD,AC⊂ 平面ABCD,所以AC⊥BE。因为BD∩BE =B,故 AC⊥平 面 BED。又 AC⊂平 面 AEC,所以平面AEC⊥平面BED。 (2)设 AB=x,在 菱 形 ABCD 中,由 ∠ABC=120°,可得 AG=GC= 3 2x ,GB= GD= x 2 。因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC 中,可得EG= 3 2x 。由BE⊥平面 ABCD, 知△EBG 为直角三角形,可得 BE= 2 2x 。 由已知得,V三棱锥E-ACD= 1 3× 1 2 ·AC·GD· BE= 6 24x 3= 6 3 ,故x=2。从而可得AE= EC=ED= 6。所以△EAC 的面积为3, △EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5。故 三棱锥E-ACD 的侧面积为3+25。 方法突破:审题时看到四边形ABCD 为 菱形,应该想到对角线垂直;看到三棱锥的 体积,应该想到利用体积可列方程求边长。 在第(1)问中,容易忽视条件 BD∩BE= B,AC⊂平面 AEC 等条件,容易出现推理 不严谨的问题。在第(2)问中,需要计算的 量较多,容易计算失误,所以在书写证明过 程中,应 严 格 按 照 判 定 定 理 的 条 件 书 写。 与此同时,要牢记计算公式,逐步计算,做 到不重不漏。 二、利用空间向量求解探索性问题 例2 在如图2所示的空间几何体中, 图2 底面四边形ABCD 为正方形, AF ⊥AB,AF ∥BE,平 面 ABEF⊥平面 ABCD,DF= 5,CE=22,BC=2。 (1)求二面角F-DE-C 的 大小; (2)若在平面 DEF 上存在点 P,使得 BP⊥平面 DEF,试通过计算说明点 P 的 位置。 解析:(1)因为AF⊥AB,平面ABCD⊥ 平面 ABEF,平面 ABEF∩平面 ABCD= 83 解题篇 经典题突破方法 高考使用 2020年3月 AB,所以AF⊥平面ABCD,所以AF⊥AD。 图3 因为四边形 ABCD 为正方 形,所 以 AB ⊥AD,所 以 AD,AB,AF 两两垂直,以 A 为原点,AD,AB,AF 分 别为x,y,z 轴建立空间直 角坐标系,如图3。 由勾股定理可知,AF=1,BE=2,所以 A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(2,0,0), E(0,2,2),F(0,0,1),所以 AC→=(2,2,0), CD→=(0,-2,0),CE→=(-2,0,2)。 设平面CDE 的一个法向量为n=(x, y,z),由 n·CD→=0, n·CE→=0, 得 -2y=0,-2x+2z=0, 即 y=0, x-z=0, 不妨取x=1,得n=(1,0,1)。 同理可得平面DEF 的一个法向量m= (1,-1,2)。 故cos<m,n>= m·n |m||n|= 3 2 ,因为二面 角F-DE-C 为钝角,故二面角F-DE-C 的大 小为 5π 6 。 (2)设 DP→=λDE→+μDF→,因 为 DE→ =(-2,2,2),DF→=(-2,0,1),所以 DP→= λDE→+μDF→=(-2λ,2λ,2λ)+(-2μ,0,μ) =(-2λ-2μ,2λ,2λ+μ)。 又BD→=(2,-2,0),所以 BP→=BD→+ DP→=(2-2λ-2μ,2λ-2,2λ+μ)。 因为BP→·DF→=0,BP→·DE→=0,所以 -2(2-2λ-2μ)+2λ+μ=0,-2(2-2λ- 2μ)+2(2λ-2)+2(2λ+μ)=0,解得μ=0, λ= 2 3 ,即DP→=23DE →。 所以P 是线