18.高中数学概率与统计中的决策性问题分类与简析-2020年3月刊高考数学《中学生数理化》

■兰州市第二中学 刘慧荣 在2019年的全国Ⅱ卷中加大了对概率 统计的考查,由原来的一道解答题变为一道 解答题与两道小题,体现概率与统计的重要 性,适应时代发展的需求。笔者从下面两个 方面谈一谈不同情况下与概率统计相关的决 策性问题。 题型一、与数学期望相关的决策性问题 例1 某超市计划按月订购一种酸奶, 每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每 瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元 的价格当天全部处理完。根据往年销售经 验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有 关。如果最高气温不低于25 ℃,需求量为 500瓶;如果最高气温位于区间[20,25)内, 需求量为300瓶;如果最高气温低于20 ℃, 需求量为200瓶。为了确定六月份的订购计 划,统计了前三年六月份各天的最高气温数 据,得到如表1所示的频数分布: 表1 最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高 气温位于该区间的概率。 (1)求六月份这种酸奶一天的需求量 X (单位:瓶)的分布列。 (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润 为Y(单位:元)。当六月份这种酸奶一天的 进货量n(单位:瓶)为多少时,Y 的数学期望 达到最大值? 解析:(1)由题意知,X 的所有可能取值 为200,300,500,由表1中的数据知: P(X=200)= 2+16 90 =0.2 ; P(X=300)= 36 90=0.4 ; P(X=500)= 25+7+4 90 =0.4 。 因此,X 的分布列为表2: 表2 X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 (2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至 多为500瓶,至少为200瓶,因此只需考虑 200≤n≤500。 ①当300≤n≤500时,若最高气温不低 于25,则Y=6n-4n=2n; 若最高气温位于区间[20,25)内,则Y= 6×300+2(n-300)-4n=1 200-2n; 若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n -200)-4n=800-2n。 因此E(Y)=2n×0.4+(1 200-2n)× 0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n。 此时,E(Y)是一个关于n 的减函数,所 以当n=300时,最大值为520元。 ②当200≤n<300时,若最高气温不低 于20,则Y=6n-4n=2n; 若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n -200)-4n=800-2n。 因此E(Y)=2n×(0.4+0.4)+(800- 2n)×0.2=160+1.2n。 此时,E(Y)是一个关于n 的增函数,所 以当n=300时,E(Y)<520(元)。 综上可知,当n=300时,Y 的数学期望 达到最大值,最大值为520元。 方法归纳:解决这种问题最好的方法是 将自己当成当事人并画出对你有用的信息, 然后举特例帮助自己彻底搞清题意,最后用 分布列来解决问题。解题步骤:①认真审题, 搞清题意,然后写出随机变量的可能取值; 14 解题篇 经典题突破方法 高考使用 2020年3月 ②求出每个随机变量的概率;③写出分布列; ④求出数学期望;⑤针对不同的问法解决相 应的问题。 题型二、与频率分布直方图相关的决策 性问题 例2 我国是世界上严重缺水的国家, 某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整 居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的 月用水量标准x(吨),一位居民的月用水量 不超过x 的部分按平价收费,超出的部分按 议价收费。为了了解居民用水情况,通过抽 样,获得了某年100位居民每人的月均用水 量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1), …,[4,4.5]分成9组,制成了如图1所示的 频率分布直方图。 图1 (1)求直方图中a的值; (2)设该市有30万居民,估计全市居民 中月均用水量不低于3吨的人数; (3)若该市政府希望使85%的居民每月 的用水量不超过标准x(吨),估计x 的值,并 说明理由。 解析:(1)因为0.5×(0.08+0.16+0.4 +0.52+0.12+0.08+0.04+2a)=1,解得 a=0.3。 (2)由图可得,在样本中月均用水量不低 于3吨的频率为0.5×(0.12+0.08+0.04) =0.12,所以运用样本估计总体的原理,可得 在总体中月均用水量不低于3吨的人数大约 为30×0.12=3.6(万)。 (3)由图可得,月均用水量低于2.5吨的 频率为0.5×(0.08+0.16+0.3+0.4+ 0.52)=0.73=73%<85%。 月均用水量低于3吨的频率为0.5× (0.0