19.三角、数列、空间几何、概率统计试题精选-2020年3月刊高考数学《中学生数理化》

■江苏省盐城市时杨中学 刘长柏 1.(2020届北京市顺义区牛栏山第一中 学高三9月月考)已知函数f(x)=sin x· cosπ2+x + 3sin xcos x。 (1)求f π 3 的值及函数f(x)的最小正 周期; (2)求f(x)在区间 0, π 2 上的最小值。 2.(南京市2019届高三第三次模拟)已 知a,b,c分别是△ABC 的三个角A,B,C 所 对的边,且满足acos B+bcos A= ccos A cos C 。 (1)求证:A=C; (2)若b=2,BA→·BC→=1,求sin B 的值。 3.(2020届高三南通市第一次调研抽 测)设数列{an}的各项均为正数,{an}的前n 项和Sn= 1 8 (an+2)2,n∈N*。 (1)求数列{an}的通项公式。 (2)设等比数列{bn}的首项为2,公比为 q(q>0),前n项和为Tn。若存在正整数m, 使得S3=Sm·T3,求q的值。 4.(2020届济宁市二中10月月考)已知 {an}是递增的等差数列,且a2,a4 是方程x2 -5x+6=0的根。数列{bn}的前n 项和为 Sn,且Sn=2bn-2(n∈N*)。 (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)若cn=an·bn(n∈N*),试求数列 {cn}的前n项和Tn。 5.(七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、 宿迁、连云港)2019年高三第二次模拟)已知 数列{an}的各项均不为零。设数列{an}的前 n项和为Sn,数列{a2n}的前n 项和为Tn,且 3S2n-4Sn+Tn=0,n∈N*。 (1)求a1,a2 的值; (2)证明:数列{an}是等比数列; (3)若(λ-nan)(λ-nan-1)对任意的n∈ N*恒成立,求实数λ的所有值。 6.(盐城市2019年高三第二次模拟)如 图1 图1,在 四 棱 锥 P-ABCD 中, PA⊥底面 ABCD,AD∥BC, AB=AC=AD=3,PA=BC =4。 (1)求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值; (2)求平面PAD 与平面PBC 所成锐二 面角的余弦值。 7.(2019年咸阳市模拟)如图2,在四棱 锥P-ABCD 中,底面ABCD 是菱形,∠ABC 图2 =120°,PA=PC,PB= PD,AC∩BD=O。 (1)求证:PO⊥平面 ABCD; (2)若 PA 与 平 面 ABCD 所成的角为30°, 求二面角B-PC-D 的余弦值。 8.(2019年黄山市二模)如图3,已知四 边形ABCD 满足AD∥BC,BA=AD=DC = 1 2BC=a ,E 是BC 的中点,将△BAE 沿 AE 翻 折 到△B1AE 的 位 置,使 得 B1D= 6 2a ,F 为B1D 的中点。 图3 34 演练篇 核心考点AB卷 高考使用 2020年3月 (1)证明:B1E∥平面ACF; (2)求平面ADB1 与平面ECB1 所成锐 二面角的余弦值。 9.(2019年石家庄市一模)小明在石家 庄市某物流公司找到了一份派送员的工作, 该公司给出了甲、乙两种日薪薪酬方案,其中 甲方案:底薪100元,每派送一单奖励1元; 乙方案:底薪140元,每日前55单没有奖励, 超过55单的部分每单奖励12元。 (1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日 薪y(单位:元)与派送单数n的函数关系式。 (2)根据该公司所有派送员100天的派 送记录,得到了如图4所示的派送量指标的 频率分布直方图,并发现每名派送员的日平 均派送单数满足以下条件:当某天的派送量 指标在 2 (n-1) 10 ,n 5 (n=1,2,3,4,5)时,日 平均派送量为(50+2n)单。 图4 若将频率视为概率,回答下列问题: ①根据以上数据,设一名派送员的日薪 为Y(单位:元),试分别求出甲、乙两种方案 中日薪Y 的分布列、数学期望及方差; ②结合①中的数据,利用统计的知识,帮 助小明分析,他选择哪种薪酬方案比较合适, 并说明你的理由。 (参考数据:0.62=0.36,1.42=1.96, 2.62=6.76,3.42=11.56,3.62=12.96,4.62 =21.16,15.62=243.36,20.42=416.16, 44.42=1 971.36) 10.(2019年青岛市二模)为了研究学生 的数学核心素养与抽象能力(指标x)、推理 能力(指标y)、建模能力(指标z)的相关性, 将它们各自量化为1、2、3三个等级,再用综 合指标w=x+y+z 的值评定学生的数学 核心素养。若 w≥7,则数学核心素养为一 级;若5≤w≤6,则数学核心素养为二级;若 3≤w≤4,则数学核心素养为三级。为了了 解某校学生