1.计数原理、排列组合试题的常见题型与解法·2020年3月刊高二数学《中学生数理化》

计数原理、排列组合试题的常见题型与解法 ■河南省郑州领航实验学校 牛志忠 计数原理及排列组合的运用是高考考查 的重点,解题时常用到两个计数原理、排列数 和组合数的计算,考查同学们的数学逻辑推 理能力、数学运算能力。这类高考题型以理 解和应用计数原理、排列、组合的概念为主, 常常以实际问题为载体,考查分类讨论思想, 同时考查同学们分析、解决问题的能力,题型 多以选择、填空为主,难度中等,亦可与概率 统计和分布列知识一块考查。 排列组合考题的难度虽然不大,但是其 考查题型多样,解题规律与技巧较多,为了使 同学们更好地掌握这块知识,特对此类问题 的题型及解法进行归纳。 【题型1】相邻问题捆绑法 例1 某校迎新晚会上有6个节目,考 虑整体效果,对节目演出顺序有如下要求:节 目甲必须排在前三位,且节目丙、丁必须排在 一起,则该校迎新晚会节目演出顺序的编排 方案共有( )。 A.120种 B.156种 C.188种 D.240种 解析:先考虑将丙、丁排在一起的排法种 数,将丙、丁捆绑在一起,与其他4人形成5 个元素,排法种数为A22A55=2×120=240。 利用对称性思想,节目甲放在前三位或 后三位的排法种数是一样的,因此,该校迎新 晚会节目演出顺序的编排方案有 240 2=120 (种), 故选A。 【题型2】先特殊后一般法 例2 某所大学在10月份举行秋季越 野接力赛,每个专业4人一组,其中计算机专 业的甲、乙、丙、丁4位大学生将代表本专业 参加拉力赛,需要安排第一棒到第四棒的顺 序,4个人去询问教练的安排,教练对甲说: “根据训练成绩,你和乙都不适合跑最后一 棒。”然后又对乙说:“你还不适合安排在第一 棒。”仅从教练回答的信息分析,要对这4名 同学讲行合理的比赛棒次安排,那么不同情 形的安排共有( )。 A.6种 B.8种 C.12种 D.24种 解析:根据条件可知乙只能安排在第二 棒或第三棒。若“乙”安排在第二棒,此时有 C12·A22=4(种);若“乙”安排在第三棒,此时 有C12·A22=4(种),则一共有8种,选B。 【题型3】 不相邻问题插空法 例3 6把椅子摆成一排,3人随机就 座,任何两人不相邻的坐法种数为( )。 A.144 B.120 C.72 D.24 解析:利用“插空法”,先排3个空位,形 成4个空隙供3人选择就座,因此任何两人 不相邻的坐法种数为 A34=4×3×2=24, 选D。 【题型4】至少至多问题 例4 从2位女生、4位男生中选3人 参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不 同的选法共有 种(用数字作答)。 解析:(法一)可分两种情况:第一种情 况,只有1位女生入选,不同的选法有C12C24 =12(种);第二种情况,有2位女生入选,不 同的选法有C22C14=4(种)。根据分类加法计 数原理知,至少有1位女生入选的不同的选 法有12+4=16(种)。 (法二)从6人中任选3人,不同的选法 有C36=20(种),从6人中任选3人都是男生, 不同的选法有C34=4(种),所以至少有1位 女生入选的不同的选法有20-4=16(种)。 【题型5】名额问题隔板法 例5 中小学校车安全问题引起社会 的关注,为了彻底消除校车安全隐患,某市购 3 知识篇 知识结构与拓展 高二使用 2020年3月 进了50台完全相同的校车,准备发放给10 所学校,每所学校至少2台,则不同的发放方 案的种数有( )。 A.C941 B.C938 C.C940 D.C939 解析:首先每个学校配备一台,这个没有 顺序之分,剩下40台,再将剩下的40台像排 队一样排列好,则这40台校车之间有39个 空。对这39个空进行插空(隔板),比如说用 9个隔板隔开,就可以隔成10部分了,所以 是在39个空隙里选9个空隙插入隔板,答案 是C939,选D。 【题型6】走街道问题 例6 如图1,小明从街道的E 处出发, 先到F 处与小红会合,再一起到位于G 处的 老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公 寓可以选择的最短路径条数为( )。 图1 A.24 B.18 C.12 D.9 解析:分两步,第一步,从E→F,有6条 可以选择的最短路径;第二步,从F→G,有3 条可以选择的最短路径。由分步乘法计数原 理可知有6×3=18(条)可以选择的最短路 径,故选B。 【题型7】化繁为简 例7 某次演出共有6位演员参加,规 定甲只能排在第一个或最后一个出场, 乙和 丙必须排在相邻的顺序出场,则不同的演出 顺序共有( )。 A.24种 B.144种 C.48种 D.96种 解析:第一步,先安排甲有A12 种方案;第 二步,安排乙和丙有 A22A14 种方案;第三步, 安