2.复数考查有思路 三条主线帮你学·2020年3月刊高二数学《中学生数理化》

■福建省德化第一中学 吴志鹏 复数是近几年来高考全国卷与各地市自 主命题必考的一个知识点,考题一般设置在 试卷的前面,难度不大。复数是初等数学与 高等数学的衔接点,相关概念较多,理解概念 是解决复数问题的基础。本人通过研究近几 年全国各地的高考复数题,总结出复数考查 的三条主线,帮助同学们学习。 主线一:通过复数运算获得复数代数形 式z=a+bi(a,b∈R),再利用其相关概念、 性质进行求解。 复数的运算包括: 复数的加法运算:(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i; 复数的减法运算:(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i; 复数的乘法运算: (a+bi)(c+di)=(ac -bd)+(ad+bc)i; 复数的除法运算:(a+bi)÷(c+di)= ac+bd c2+d2 + bc-ad c2+d2 i(c+di≠0)。 复数的性质包括:复数的模、实部、虚部、 共轭复数,复数所对应点的坐标等内容。 例1 (2019年全国Ⅰ卷文数第1题) 设z= 3-i 1+2i ,则|z|=( )。 A.2 B.3 C.2 D.1 解析:通过复数运算,化简得z= 1-7i 5 , 所以|z|= 2。 例2 (2014年湖南卷)复数z=3+i i2 (i 为虚数单位)的实部等于 。 解析:通过复数运算,化简得z=-3-i, 所以实部为-3。 例3 (2019 年 江 苏 卷)已 知 复 数 (a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单 位,则实数a的值是 。 解析:由题意知(a+2i)(1+i)=(a-2) +(a+2)i,复数的实部为0,则a-2=0,a= 2。 例4 (2019年全国Ⅱ卷)设z=i(2+ i),则z=( )。 A.1+2i B.-1+2i C.1-2i D.-1-2i 解析:z=i(2+i)=-1+2i,它的共轭复 数为-1-2i,故选D。 例5 (2017年北京卷理科数学)若复 数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二 象限,则实数a的取值范围是( )。 A.(-∞,1) B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(-1,+∞) 解析:z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1- a)i。因 为 对 应 的 点 在 第 二 象 限,所 以 有 a+1<0, 1-a>0。 解得a<-1,故选B。 例6 (2019年全国Ⅱ卷理数)设z= -3+2i,则在复平面内z对应的点位于( )。 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:计算得z=-3-2i,其对应点的坐 5 知识篇 知识结构与拓展 高二使用 2020年3月 标为(-3,-2),在第三象限,故选C。 以上例题均可通过复数运算,化简获得 z=a+bi(a,b∈R)这种代数形式,再利用相 关概念如实部、虚部、共轭复数、模等进行解 题。 主线二:通过求解复数方程,获得复数的 代数形式z=a+bi(a,b∈R),再利用其相关 概念、性质进行求解。 例7 (2019年全国Ⅲ卷理数)若z(1 +i)=2i,则z=( )。 A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 解析:利用方程的思想,求得z= 2i 1+i= 1+i,选D。 变式:(2017年新课标Ⅲ卷理数)若复数 z满足z(1+i)=2i(i为虚数单位),则|z|= ( )。 A.1 B.2 C.2 D.3 解析:利用方程的思想,求得z= 2i 1+i= 1+i,则|z|= 2,选C。 例8 (2019年上海卷)设i为虚数单 位,3z-i=6+5i,则|z|=( )。 A.1 B.22 C.3 D.2 解析:解复数方程,可将z看成一个未知 数,通过解方程求出z即可,解得3z=6+6i, z=2+2i,|z|=22,选B。 例9 (2015年江苏卷)设复数z 满足 z2=3+4i(i为虚数单位),则z的模是 。 解析:可设z=a+bi(a,b∈R),再利用 两复数相等,实部相等且虚部相等获得a,b 的值。 (a+bi)2=3+4i,a2-b2+2abi=3+4i。 则 a2-b2=3, 2ab=4, 解得 a=2 , b=1 或 a=-2 , b=-1。 z=2+i或z=-2-i,则z的模为 5。 例10 (2015年山东卷)若复数z满足 z 1-i=i ,其中i为虚数单位,则z=( )。 A.1-i B.1+i C.-1-i D.-1+i 解析:z=i(1-i)=1+i,所以z=1-i, 选A。 例11 (2015年全国Ⅱ卷)若a 为实 数,2+ai 1+i=3+i ,则a=( )。 A.-4 B.-3 C.3 D.4 解析:由2+