3.一种方法破解十三种变形·2020年3月刊高二数学《中学生数理化》

一种方法破解十三种变形 ■河北省南宫市教育局教研室 王英辉 ■河北省南宫中学 霍忠林 赋值法是二项式定理的一个重要应用, 它体现的是一种从一般到特殊的转化思想。 用赋值法处理二项式展开式中与项的系数相 关的问题,一直以来都是各地高考及模拟考 试的热点问题。本文从一道例题出发,通过 十三个由浅入深的变式,将赋值法常见的各 种题型一一归纳总结,以期对同学们提供帮助。 例题 若(3x-1)7=a0+a1x+a2x2+ …+a7x7,求a0+a1+…+a7 的值。 解析:令x=1,则a0+a1+…+a7=27。 变式1 若(3x-1)7=a0+a1(x-1)+ a2(x-1)2+…+a7(x-1)7,求a0+a1+… +a7 的值。 解析:令x=2,则a0+a1+…+a7=57。 变式2 若(3x-1)7=a0+a1(2x-1) +a2(2x-1)2+…+a7(2x-1)7,求a0+a1 +…+a7 的值。 解析:令x=1,则a0+a1+…+a7=27。 评析:运用赋值法在解决形如“(ax+b)n =a0+a1(sx+t)+a2(sx+t)2+…+an(sx +t)n(a≠0,s≠0),求a0+a1+…+an 的 值”问题时,只需令sx+t=1,即将x= 1-t s 带入等式左边,从而得到所求结果 a1-ts +b n 。 变式3 求(3x-1)7 的展开式中所有项 的系数和。 解析:该变式与变式1相同,只是形式上 没有变式1更“直观”,答案略。 变式4 求(2x+1)(3x-1)7 的展开式 中所有项的系数和。 解析:令x=1,则展开式中所有项的系 数和为3·27。 变式5 求(2x+y)(3x-y)7 的展开式 中所有项的系数和。 解析:令x=y=1,则展开式中所有项的 系数和为3·27。 评析:运用赋值法在解决形如“求(ax+ by)n(cx+dy)m(其中a,b,c,d 为常数)展开 式中所有项的系数和”问题时,只需将两变量 x=1,y=1代入等式左边,从而得到所求结 果(a+b)n(c+d)m。 变式6 若(3x-1)7=a0+a1x+a2x2 +…+a7x7,求a0-a1+a2-a3+…+a6- a7 的值。 解析:令x=-1,则a0-a1+a2-a3+ …+a6-a7=(-4)7。 评析:运用赋值法在解决形如“(ax+b)n =a0+a1(sx+t)+a2(sx+t)2+…+an(sx +t)n(a≠0,s≠0),求a0-a1+a2-…+ (-1)nan 的值”问题时,只需令sx+t=-1, 即将x= -1-t s 代入等式左边,从而得到所 求结果 a -1-ts +b n 。 变式7 若(3x-1)7=a0+a1x+a2x2 +…+a7x7,求a1+a3+a5+a7 和a0+a2+ a4+a6 的值。 解析:注意到a0+a1+…+a7=27,a0- a1+a2-a3+…+a6-a7=(-4)7。 所以 a0+a2+a4+a6= 27+(-4)7 2 , a1+a3+a5+a7= 27-(-4)7 2 。 评析:若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+ anxn,则a0+a2+a4+…= f(1)+f(-1) 2 , a1+a3+a5+…= f(1)-f(-1) 2 。 变式8 若(3x-1)7=a0+a1x+a2x2 +…+a7x7,求|a0|+|a1|+…+|a7|的值。 解析:注意到a0,a2,a4,a6 均为负数, a1,a3,a5,a7 均为正数,所以: |a0|+|a1|+…+|a7| =-a0+a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7 =-(a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6- a7)=-(-4)7=47。 8 知识篇 知识结构与拓展 高二使用 2020年3月 评析:对比(3x-1)7 和(3x+1)7 展开式 中次数相同项的系数,易发现变式8中|a0| +|a1|+…+|a7|的值就等于(3x+1)7 展 开式中各项的系数之和,因此在运用赋值法 解决形如“(ax+b)n=a0+a1x+a2x2+… +anxn,求|a0|+|a1|+…+|an|的值”的问 题,就可以转变为“求 |a|x+|b| n 展开式 中各项的系数之和”问题来处理。 变式9 若x7=a0+a1(x-1)+a2(x- 1)2+…+a7(x-1)7,求a0+a1+…+a7 的值。 解析:解法一,令x=2,则a0+a1+…+ a7=27。 解法二,令t=x-1,则(t+1)7=a0+ a1t+a2t2+…+a7t7。再令t=1,则a0+a1 +…+a7=27。 评析:解法二通过换元将问题转化为同 学们熟知的问题,这种处理尤其在求特定项 的系数时(比如本题中若求a2