8.《计数原理》易错题归类剖析·2020年3月刊高二数学《中学生数理化》

《计数原理》易错题归类剖析 ■甘肃省嘉峪关市第一中学 卢会玉 两个计数原理是学习排列组合的基础, 同学们只有准确理解两个原理的区别和联 系,才能灵活运用两个原理,从而轻松解决排 列组合的综合应用问题。作为高考的必考内 容,排列组合的考题在高考试卷中的占比并 不多,但却不容易得分,甚至出现一种闻“排 列组合”色变的现象,出现这种现象的主要原 因还是一些基本知识和常见题型没掌握好, 一不小心就会掉进陷阱。在解答排列组合问 题时,易犯的错误是遗漏与重复,遗漏的情况 一般容易发现,重复时却很难发现。现在就 对易错问题进行归类剖析! 一、疑难知识导读 1.分类原理和分步原理的区别在于一个 和分类有关,一个和分步有关。如果完成一 件事有n类方法,这n 类方法彼此之间是相 互独立的,无论哪一类方法都能单独完成这 件事,求完成这件事的方法种数,就用分类计 数原理。如果完成一件事,需分成n个步骤, 缺一不可,即需要依次完成所有步骤,才能完 成这件事,完成每一个步骤各有若干种不同 的方法,求完成这件事的方法种数,就用分步 计数原理。在具体解题时,常常是完成某件 事,既有分类,又有分步,仅用一种原理不能 解决,这时需要认真分析题意,分清主次,选 择其一作为主线。 2.解排列与组合应用题时,应首先判断 是排列问题还是组合问题。界定是排列问题 还是组合问题,唯一的标准是“顺序”,有序是 排列问题,无序是组合问题。当排列与组合 问题综合到一起时,一般采用先组合后排列 的方法解答。 3.分类计数原理与分步计数原理是关于 计数的两个基本原理,它们不仅是推导排列 数公式和组合数公式的基础,而且其应用贯 穿于排列与组合的始终。学好两个计数原理 是解决排列与组合应用题的基础。切记:排 组分清(有序排列、无序组合),加乘明确(分 类为加、分步为乘)。 二、易错题剖析 易错题型1:混淆两个计数原理 分类加法计数原理对应着“分类”活动, 每一类方法都能完成相应的事情;分步乘法 计数原理对应着“分步”活动,只有完成每一 个步骤才能完成相应的事情。在实际应用 时,很多同学容易混淆两个原理。 例1 某公园东侧有3个大门,西侧有 2个大门,某人到该公园散步,则他进出门的 方案有多少种? 错解:此人进出公园大门需分两类,一类 从东边的3个门进,一类从西侧的2个门进, 由分类计数原理,共有5种方案。 错解分析:没有审清题意,本题不仅要考 虑从哪个门进,还需考虑从哪个门出,应该用 分步计数原理去解题。 正解:此人进门有5种选择,同样出门也 有5种选择,由分步计数原理知,此人的进出 门方案有5×5=25(种)。 评注:排列组合问题基于两个基本计数 原理,即加法原理和乘法原理,故理解“分类 用加法,分步用乘法”是解决排列组合问题的 前提。 对应练习:把4个实习生平均分配到甲、 乙两个办公室,则不同的分法有多少种? 解析:两个办公室选人应是一前一后的 分步关系,所以要用分步乘法原理,则不同的 分配方法有C24·C22=6(种)。 易错题型2:知识交汇问题出错 综合性题目,考查的不仅是计数原理,而 且有其他知识。 例2 从-3,-2,-1,0,1,2,3,4这8 个数字中任取3个不同的数字作为二次函数 y=ax2+bx+c 的系数a,b,c的取值,问共 能组成多少个不同的二次函数。 错解:从8个数字中任取3个不同的数 91 解题篇 易错题归类剖析 高二使用 2020年3月 字作为二次函数y=ax2+bx+c 的系数a, b,c的取值,交换a,b,c的具体取值,得到的 二次函数就不同,因而本题是个排列问题,故 能组成A38 个不同的二次函数。 错解分析:忽视了二次函数y=ax2+bx +c 的二次项系数a不能为零。 正解:a,b,c中不含0时,有A37 个函数; a,b,c中含有0时,有2A27 个函数。故共有 A37+2A27=294(个)不同的二次函数。 评注:本题也可用间接解法:a 不受限制 时共可构成 A38 个函数,其中a=0时有 A27 个函数不符合要求,从而共有 A38-A27=294 (个)不同的二次函数。 对应练习:以三棱柱的顶点为顶点共可 组成多少个不同的三棱锥? 解析:在三棱柱的6个顶点中任取4个 顶点有C46=15(种)取法,其中侧面上的4点 不能构成三棱锥,故有15-3=12(个)不同 的三棱锥。 易错题型3:审题不清导致错解 排列组合问题,往往是一字之差,谬以千 里。因此解决排列组合问题,一定要认真地 理解题意,避免因审题不清导致错误。 例3 若有5本不同的书,要分配给8 位同学,每位同学至多1本,共有多少种不同 的分配方法? 错解:5本不同的书分配给8位同学,相 当于5个元素到8个元素的映射,故有5