10.点击二项式定理中的数学方法·2020年3月刊高二数学《中学生数理化》

点击二项式定理中的数学方法 ■江苏省盐城市时杨中学 刘长柏 二项式定理:(a+b)n=C0nan+C1nan-1b +…+Crnan-rbr+…+Cnnbn(n∈N*),其中右 边的多项式为(a+b)n 的二项展开式。利用 二项式定理解题,其中蕴含着丰富的数学方 法,下面进行简要归纳。 一、求展开式中某些特定项的系数或 项，常用通项分析法 凡涉及展开式的项及其系数问题,先写 出其通项公式Tr+1=Crnan-rbr,然后再据题意 进行求解,因此运用通项分析法是解二项式 定理问题的关键。 例1 (2019年天津卷理数第10题) 2x- 1 8x3 8 的展开式中的常数项为 。 分析:根据二项式的展开式的通项进行 计算,然后令x 的指数为0,即可得到r 的 值,代入r的值即可算出常数项。 解:由题意可知,此二项式的展开式的通 项为: Tr+1=Cr8(2x)8-r - 1 8x3 r =Cr8·28-r· - 1 8 r ·x8-r· 1 x3 r =Cr8·(-1)r28-4r · x8-4r。 当8-4r=0,即r=2时,Tr+1 为常数项。 此时T2+1=C28·(-1)228-4×2=28。 故答案为28。 点评:本题主要考查二项式的展开式的 通项,通过通项中未知数的指数为0可算出 常数项。 练习1:(2019年上海卷)已知二项式(2x +1)5,则展开式中含x2 项的系数为 。 解析:Tr+1=Cr5·(2x)5-r·1r=Cr5·25-r· x5-r,令5-r=2,则r=3,含x2 项的系数为 C35·22=40。 二、赋特殊值法 在求展开式中的各系数之和及某些组合 数之和时,取特殊值是一种非常有效的方法。 例2 若(2x+ 3)2 004=a0+a1x+ a2x2+…+a2 003x2 003+a2 004x2 004,求(a0+a2 +…+a2 004)2-(a1+a3+…+a2 003)2 的值。 分析:令x=1,x=-1,代入得出结论。 解:f(x)=a0 +a1x+a2x2 + … + a2 003x2 003+a2 004x2 004。 则(a0+a2+…+a2 004)2-(a1+a3+… +a2 003)2=f(1)f(-1)=(2+ 3)2 004(-2+ 3)2 004= (3+2)(3-2) 2 004=1。 点评:这类题的常用解法是赋值代入,多 项式f(x)的各项系数和为f(1),再分别找 出奇数项系数和、偶数项系数和。 练习2:已知 x- a x 8 展开式中常数项 为1 120,其中实数a 是常数,则展开式中各 项系数的和是 。 解析:Tr + 1 =Cr8·x8-r·(-ax-1)r= Cr8·x8-2r(-a)r。 令8-2r=0,则r=4。 则(-a)4C48=1 120,a=±2。 当a=2时,令x=1,则(1-2)8=1;当a =-2时,令x=1,则(1+2)8=38。 故展开式中各项系数的和是1或38。 三、函数方程方法 已知展开式中若干项系数的关系,求指 数n及二项式中参数的值可利用展开式中的 通项,依据题意建立方程得以解决。 例3 (2019年江苏卷)设(1+x)n= a0+a1x+a2x2+…+anxn,n≥4,n∈N*。 42 解题篇 经典题突破方法 高二使用 2020年3月 已知a23=2a2a4。 (1)求n的值; (2)设(1+ 3)n=a+b 3,其中a,b∈ N*,求a2-3b2 的值。 分析:(1)运用二项式定理,分别求得 a2,a3,a4,结合组合数公式,解方程可得n 的 值。 (2)方法一,运用二项式定理,结合组合 数公式求得a,b,计算可得所求值;方法二, 由于a,b∈N*,求得(1- 3)5=a-b 3,再 由平方差公式,计算可得所求值。 解:(1)由(1+x)n=C0n+C1nx+C2nx2+ …+Cnnxn,n≥4,可得a2=C2n= n(n-1) 2 ,a3 = C3n = n(n-1)(n-2) 6 ,a4 = C4n = n(n-1)(n-2)(n-3) 24 。 由a23=2a2a4,可得 n(n-1)(n-2) 6 2 =2· n(n-1) 2 ·n (n-1)(n-2)(n-3) 24 。 解得n=5。 (2)方法一:(1+ 3)5=C05+C15 3+ C25(3)2+C35(3)3+C45(3)4+C55(3)5= a+b 3。 由于a,b∈N*,可得a=C05+3C25+9C45 =1+30+45=76,b=C15+3C35+9C55=44。 故a2-3b2=762-3×442=-32。 方法 二:(1+ 3)