11.巧破常规法 妙解二项式·2020年3月刊高二数学《中学生数理化》

巧破常规法　妙解二项式 ■江苏省张家港中等专业学校 韩文美 二项式定理是高中数学内容与体系中较 为独特的一部分知识,内容并不多,难度并不 大,却充分展示了中学数学中待定系数法、构 造法、特殊值法、赋值法和逆向思维等基本方 法思想。破解二项式问题常见的思维方式就 是借助二项式定理进行展开,而常见的方法 是通过二项式公式的正向与逆向应用、赋值 应用来解决问题,其实还可以利用一些其他 的非常规方法来巧妙解答相关的二项式定理 问题。下面结合实例,以非常规技巧方法来 妙解二项式问题。 1.巧转化 在二项式定理的相关问题中,经常会见 到多于二项的多项式或较为复杂的多项式问 题,解题时要通过合理转化,把多于二项或较 为复杂的多项式问题转化为与之对应的二项 式定理的问题来分析与求解。 例1 在(x y-y x)4 的展开式中, x3y3 的系数为 。 分析:根据(x y-y x)4 的合理变形, 要求解原展开式中x3y3 的系数,就可以转化 为求解较为简单的(x- y)4 展开式中的 含xy 项的系数问题,这样合理转化,易于操 作,过程简单方便。 解:由于(x y-y x)4=[x y(x- y)]4=x2y2(x- y)4,要求(x y- y x)]4 的展开式中 x3y3 的系数,只需求 (x- y)4 的展开式中含xy项的系数即可。 由于(x- y)4 的展开式中含xy 的 项为T2+1=C24·(x)2·(- y)2=6xy,所 以x3y3 的系数为6。 点评:结合展开式中关系式的运算,分解 相关问题,进行有效的转化,把较为复杂的二 项式问题转化为较为简单的二项式问题,这 样使得解题过程化繁为简,起到事半功倍的 效果。 2.巧换元 在解决一些二项式定理的相关问题时, 经常会碰到二项展开式的等式左右两边所对 应的幂的底数不一致的情况,此时往往可以 借助换元思维来处理,有效降低数学思维的 难度,使得问题变得简单易解。 例2 已知a1(x-1)4+a2(x-1)3+ a3(x-1)2+a4(x-1)+a5=x4,则a2+ a3+a4=( )。 A.12 B.13 C.14 D.15 分析:观察二项展开式的等式左右两边, 可知含有未知数的幂的底数不一致,从而需 要通过巧妙换元转化为一般情况下的二项展 开式问题,再通过二项式定理的相关知识来 分析与解决。 解:令x-1=t,则有x=t+1。 结合题目条件,可得(t+1)4=a1t4+ a2t3+a3t2+a4t+a5。 利用二项式定理,则有: a2=C14,a3=C24,a4=C34。 所以a2+a3+a4=C14+C24+C34=14。 故答案为C。 点评:结合二项展开式中幂的特征进行 换元处理,化陌生的二项展开式问题为熟知 的二项式定理问题,借助二项式定理的相关 知识来分析与处理即可。换元思维,使得问 题熟悉化、常规化,从而得以借助常规思维来 解决与处理。 3.巧分组 在解决一些涉及三项或更多项的展开式 问题时,经常根据题目条件,对相应的三项或 更多项的展开式进行合理分组,转化为二项 展开式问题,再通过二项式定理的相关公式 或性质来分析与处理。 例3 (x2+3x+2)5 的展开式中含x 的项的系数为 。 分析:结合题中条件中的三项展开式(x2 +3x+2)5 中关系式的特征,合理进行因式 分解x2+3x+2=(x+1)(x+2),把问题中 的三项式问题进行巧妙转换,再结合二项式 62 解题篇 经典题突破方法 高二使用 2020年3月 定理来解决即可。 解:(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5= (C05x5+C15x4+…+C55)(C05x5+C15x4·2+ …+C55·25)。 可知 展 开 式 中 含 x 的 项 为 (C45x)· (C55·25)+C55·(C45·x·24)=240 x。 所以展开式中含x 项的系数为240,答 案为240。 点评:对于三项式或更多项的展开式中 的特定项问题,一般先对三项式进行合理变 形,比较常见的变形方式就是借助因式分解 巧妙分组,进而转化为与之对应的二项式问 题,再利用二项式定理解决。 4.巧建模 对于一些特殊的二项展开式问题,如果 给出相关项的特征,结合组合模型特征,通过 从相关二项式所对应的因式中按要求提取相 关的因式,进而达到满足条件的目的,通过合 理建模来解决相应的系数问题。 例4 (2015年全国课标Ⅰ卷理科第 10题)(x2+x+y)5 的展开式中,x5y2 的系 数为( )。 A.10 B.20 C.30 D.60 分析:根据题目条件,可以把二项展开式 (x2+x+y)5 看作5个因式x2+x+y 的乘 积,根据所求的项x5y2 的特征,分配各相应 的