12.通项公式——二项式定理的核心·2020年3月刊高二数学《中学生数理化》

通项公式——二项式定理的核心 ■河南省许昌市第五高级中学 祝辛梅 二 项 式 展 开 式 (a+b)n =C0nanb0 + C1nan-1b1+…+Crnan-rbr+…+Cn-1n a1bn-1+ Cnna0bn 中,我们把Crnan-rbr 称为二项式展开 式的第r+1项,也称之为二项式展开式的通 项公式,记为Tr+1=Crnan-rbr。我们利用二项 式展开式的通项公式,可以对二项式展开式 中的每一项的取值情况作出正确判断,也可 以处理与二项式有关的一些问题,如参数取 值范围问题,以及与其他知识有关的综合问 题。 一、求二项式展开式中满足条件的项或 项的系数 通项公式可以表示展开式中的每一项, 也就可以求解其中某一项的值。 例1 在二项式 x2-1x 6 的展开式 中,含有x3 项的系数为 。 解析:要求二项式展开式中含x3 项的系 数,只需知道其通项公式(即第r+1项),通 过系数确定r的值,即可计算求解。 由题意知,该二项式的通项公式为Tr+1 =Cr6(x2)6-r - 1 x r =Cr6(-1)rx12-3r,所以 12-3r=3,解得r=3,T4=C36(-1)3x3= -20x3,即含有x3 项的系数为-20。 例2 在二项式 x2+12x 9 的展开式 中,含有x9 的项为 。 解析:本题要求的是含有x9 的项,所以 不仅要求出该项的系数,而且下结论时写出 的应该是一个完整的项。 由题意知,该二项式的通项公式为Tr+1 =Cr9(x2)9-r 1 2x r =Cr9 1 2 r x18-3r,所以18 -3r=9,解得r=3,含有x9 的项为 T4= C39 1 2 3 x9= 21 2x 9。 例3 对任意的实数x,有(x-1)4=a0 +a1(x-3)+a2(x-3)2+a3(x-3)3+ a4(x-3)4,则a3 的值为 。 解析:本题中,将x-1改写为x-3+2, 将x-3看成一个整体,可直接利用二项式的 通项公式计算得到a3。 因(x-1)4=(x-3+2)4,其通项公式为 Tr+1=Cr4(x-3)4-r2r,故a3=C1421=8。 例4 在 x+ 13x 24 的展开式中,x 的幂指数是整数的项共有( )。 A.3项 B.4项 C.5项 D.6项 解析:由题意知,该二项式的通项公式为 Tr+1=Cr24(x)24-r 1 3x r =Cr24x 72-5r 6 (0≤r≤ 24)。要使x 的幂指数为整数,即 72-5r 6 ∈ Z,解得r=0,6,12,18,24,共有5项,选C。 评析:在描述二项式展开式的通项公式 时,要注意应用整体代换的方式,即此处要把 x2 和- 1 x 分别整体化为a 和b;通过化简、对 比计算得到r 时,要注意所求结论是求给定 的项还是给定项的系数。下结论时要注意区 分,对于某些二项式展开式中存在特殊的情 况,能够利用整体代换的方式进行解答。 二、根据给定的项确定二项式中的参数 的值 含有参数的二项式中,先通过某项的系 数的确定,再利用通项公式确定该参数的值。 例5 若 a x- x 2 9 的展开式中x3 的系数为 9 4 ,则常数a=( )。 A.1 B.3 C.4 D.9 解析:本题可以根据通项公式直接得到 x3 的项,利用系数关系,得到关于a 的方程, 解方程即可。 82 解题篇 经典题突破方法 高二使用 2020年3月 由题意知,该二项式的通项公式为Tr+1 =Cr9 a x 9-r - x 2 r =Cr9a9-r(-1)r 1 2 r 2 ·x 3r 2-9。由题意知,3r 2-9=3 ,解得r=8,即 含x3 的项的系数为C89a 1 2 4 = 9a 16 。所以9a 16 = 9 4 ,解得a=4,故选C。 例6 若(1+2x)n 的展开式中含x3 项 的系数等于含x 项系数的8倍,则正整数 n= 。 解析:由题意知,该二项式的通项公式为 Tr+1=Crn(2x)r=Crn2rxr,故含x3 项的系数 为C3n23,含 x 的系数为 C1n21,所以 C3n23= 8C1n21,解得n=5。 例7 若 x+ 13x 2n (n∈N*)的展开 式中只有第6项系数最大,则其常数项为 ( )。 A.120 B.210 C.252 D.45 解析:由题意知,其展开式的通项公式为 Tr+1=Cr2n(x)2n-r 1 3x r=Cr2nx 6n-5r 6 。因为 只有第6项系数最大,所以 C52n>C42n, C52n>C62n。 解得 2n=10,n=5,即此时 Tr+1=Cr10x 30-5r 6 。当 30-5r 6 =