16.十大利器破解高考导数压轴新题型·2020年3月刊高二数学《中学生数理化》

十大利器破解高考导数压轴新题型 ■四川省巴中中学 肖 斌(特级教师) 涉及多个变量的导数问题能较好地考查 函数与方程、转化与化归等数学核心素养,在 高考全国卷和各省市诊断模拟试卷中出现的 频率甚高,多居于压轴题的位置。破解的策 略是如何在函数、导数的视角下将那些渗透 在方程或不等式关系中的多变量转化为单变 量,以便构造一元函数,借助导数的工具性迅 速解决。不少同学由于欠缺系统有效的方法 点拨与强化训练,常常显得力不从心、茫然无 措,下面精选数例,提炼通法,指点迷津。 利器一　逐个消元 逐个消元策略是指在具有依存关系的多 变量问题中,充分挖掘题目的隐含条件,揭示 多个变量之间满足的等量关系式,然后通过 一个等式的变形,代入另一个等式,使得变量 一个一个减少,最后转化为一元函数,以便借 助导数进行有效处理。它是解决多变量问题 最基本、最重要的手段。 例1 (河南开封市2019届高三定位 考试文数第21题)已知函数f(x)=aln x+ x2-2x。 (1)当a=-4时,求函数f(x)的单调区 间; (2)若函数y=f(x)有两个极值点x1, x2,且x1<x2,求证: f(x2) x1 <- 3 2-ln 2。 解析:(1)当a=-4时,f(x)=-4ln x +x2-2x,x∈(0,+∞)。 f' (x ) = - 4 x + 2x - 2 = 2(x-2)(x+1) x 。 当x>2时,f'(x)>0;当0<x<2时, f'(x)<0。 所以f(x)的单调递增区间为(2,+∞), 单调递减区间为(0,2)。 (2)f'(x)= a x+2x-2= 2x2-2x+a x , x∈(0,+∞)。若f(x)有两个极值点,则 f'(x)=0,即2x2-2x+a=0在(0,+∞)上 有两个不等的实数根x1,x2,且x1<x2,所 以: Δ=4-8a>0, x1+x2=1>0, x1x2= a 2>0 。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 所以0<a< 1 2 ,且a=2x1x2=2x2(1- x2)。 由题意知: f(x2) x1 = aln x2+x22-2x2 1-x2 = 2x2(1-x2)ln x2+(1-x2)2-1 1-x2 =2x2ln x2+1-x2- 1 1-x2 。 0<x1<x2⇒0<1-x2<x2⇒ 1 2<x2< 1。 设h(x)=2xln x+1-x- 1 1-x ,1 2< x<1。 则h'(x)=2(ln x+1)-1- 1 (1-x)2 = 2ln x+ x(x-2) (1-x)2 <0。 所以h(x)在 12 ,1 上单调递减,h(x) <h 12 =-32-ln 2。 因此,f (x2) x1 <- 3 2-ln 2。 感悟拓展:由于f(x)的两个极值点x1, x2 满足方程2x2-2x+a=0,由韦达定理可 以挖掘出三个变量x1,x2,a 满足的等量关 系,通过逐个消元,即把x1 化归为1-x2,把 a化归为2x1x2,进而化归为2x2(1-x2),最 53 解题篇 创新题追根溯源 高二使用 2020年3月 后代入 f(x2) x1 ,则可将目标多元函数化归为 以x2 为基本变量的一元函数。通过求导,一 举成功。其中对x1+x2=1,x1x2= a 2 这两 个相互依存又十分隐蔽的等量关系深度挖掘 与灵活利用,是攻克本题的“利器”与“核心技 术 ”。 利器二　直消多元 含有三元的多变量问题,常规的消元方 法是:先消三元为二元,再消二元为一元。有 时候,若含有比较特殊的和、积关系,也可以 不拘泥于常规,巧用整体思维,直截了当地将 三元问题消元成一元问题。 例2 (2019年安徽合肥市高三第一次 质量检测)已知函数f(x)=ax2-2x+ln x 有两个不同的极值点x1,x2,若不等式λ> f(x1)+f(x2)恒成立,则实数λ的取值范围 是( )。 A.[-3,+∞) B.(3,+∞) C.[-e,+∞) D.(e,+∞) 解析:f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x) =2ax-2+ 1 x= 2ax2-2x+1 x 。 因为f(x)有两个不同的极值点x1,x2, 所以f'(x)=0,即2ax2-2x+1=0在(0, +∞)上有两个不同的实数根x1,x2。 所以 Δ=4-8a>0, x1+x2= 1 a>0 , x1x2= 1 2a>0 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得0<a< 1 2 。 由题意知f(x1)+f(x2) =ax21-2x1+ln x1+ax22-2x2+ln x2 =a(x1+x2)2-2ax1x2-2(x1+