17.一道含参零点问题的多视角求解·2020年3月刊高二数学《中学生数理化》

一道含参零点问题的多视角求解 ■浙江省仙居中学高三(6)班 郭宇韬 题目:已知函数f(x)=log2(4xa·2x+ a+1),若方程f(x)=x 有两个不同的实数 根,求实数a的取值范围。 1.视角1———函数角度,实根分布 因为方程log2(4x+a·2x+a+1)=x 有两个不同的实数根,即4x+a·2x+a+1 =2x。 设t=2x,t2+(a-1)t+(a+1)=0在 (0,+∞)上有两个不同的正数解。 令f(t)=t2+(a-1)t+(a+1),由已知 可得: f(0)>0, - a-1 2 >0 , Δ=(a-1)2-4(a+1)>0。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 解得-1<a<3-23。 评注:该题比较综合,它涉及复合函数、 指对数函数、二次函数、零点个数等知识点; 主要用了换元法和二次函数根的分布的处理 技巧,是化归转化思想和函数方程思想的应 用。通过换元法把指对数方程有根的问题转 化为了二次方程有根的问题,起到了化繁为 简、化陌生为熟悉的作用;通过结合二次函数 的图像,用判别式、对称轴、函数值来控制二 次方程根的分布。实根分布是解决二次函数 含参零点问题的一个通用方法。 2.视角2———方程角度,韦达定理 换元得:t2+(a-1)t+(a+1)=0在(0, +∞)上有两个不同的正数解。 则 Δ=(a-1)2-4(a+1)>0, t1+t2=-(a-1)>0, t1t2=a+1>0。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得-1<a<3-23。 评注:韦达定理是从方程角度来思考的, 实根分布是从函数角度来思考的。根只和正 负有关时用韦达定理更简单,而实根分布更 具有一般性,两者很多时候可以相互转化。 3.视角3———暴力求解,求根公式 换元得:t2+(a-1)t+(a+1)=0在(0, +∞)上有两个不同的正数解。 由 求 根 公 式 得: t1,2 = -(a-1)± (a-1)2-4(a+1) 2 。 只 需 小 根 t1 = -(a-1)- (a-1)2-4(a+1) 2 >0 。 移项平方可解得-1<a<3-23。 评注:数学是自然的,数学的解题也应该 是自然的。二次方程有两个正根,求出来,两 根都大于0,自然就解决问题了,这是最直接 的想法了。 4.视角4———化归转化,分离参数 由t2+(a-1)t+(a+1)=0,得a= -t2+t-1 t+1 。 令m=t+1(因为t>0,所以m>1)。 则 a = -(m-1)2+m-2 m = -m2+3m-3 m =-m- 3 m+3 。 设g(m)=-m- 3 m +3 (m>1),则 g(m)在(1,3]上单调递增,在[3,+∞)上 单调递减,由题意,直线y=a与y=g(m)的 图像有2个交点。 则g(1)<a<g(3),解得-1<a<3- 23。 评注:含参问题往往可以从分类讨论和 分离参数两个角度来思考。这里分离参数 后,可以转化为水平线y=a 和一个静止的 函数y=g(m)的图像的交点问题。分离参 数往往可以使含参问题避开烦琐的分类讨论 过程。 (责任编辑 徐利杰) 44 解题篇 创新题追根溯源 高二使用 2020年3月 $$