2020年4月开学摸底考高三数学（理）（新课标卷01）

2020年4月开学摸底考（新课标卷01） 高三数学（理） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容． 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知复数是纯虚数，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．已知，，，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 4．已知函数，则的图象大致为（　　） A． B． C． D． 5．在中，为上一点，是的中点，若，，则（ ） A． B． C． D． 6．已知数列满足，，若，则数列的通项（ ） A． B． C． D． 7．已知函数的图象经过点和.若函数在区间上有唯一零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知，若点是抛物线上任意一点，点是圆上任意一点，则的最小值为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为　　 A． B． C． D． 10．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为，大圆盘上所写的实数分别记为,如图所示.将小圆盘逆时针旋转次，每次转动，记为转动次后各区域内两数乘积之和，例如. 若， ，则以下结论正确的是 A．中至少有一个为正数 B．中至少有一个为负数 C．中至多有一个为正数 D．中至多有一个为负数 11．已知集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合A中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为，现将组成的三个数字按从小到大排成的三位数记为（），按从大到小排成的三位数记为D（）（例如＝219，则（）＝129，D（）＝921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，则输出b的值为（ ） A．792 B．693 C．594 D．495 12．如下图，在正方体中，点分别为棱，的中点，点为上底面的中心，过三点的平面把正方体分为两部分，其中含的部分为，不含的部分为，连接和的任一点，设与平面所成角为，则的最大值为（ ）． A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知函数，，则________． 14．已知随机变量服从正态分布，若，则__________． 15．已知双曲线中，是左、右顶点，是右焦点，是虚轴的上端点．若在线段上（不含端点）存在不同的两点，使得，则双曲线离心率的取值范围是____________. 16．四面体中，底面，，，则四面体的外接球的表面积为______ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列的前项和，数列满足. （Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （Ⅱ）设，数列的前项和为，求满足的的最大值. 18．（本小题满分12分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表： 维修次数 0 1 2 3 台数 5 10 20 15 以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数． （1）求X的分布列； （2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？ 19．（本小题满分12分）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长. 20．（本小题满分12分）已知是抛物线上不同两点.