2020年4月开学摸底考高三数学（理）（新课标卷02）

2020年4月开学摸底考（新课标卷02） 高三数学（理） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容． 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．已知集合，，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 2．已知命题,，则（ ） A．， B．， C．， D．， 3．已知，，为虚数单位，且，则的值为（ ） A．4 B． C．-4 D． 4．已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（ ） A． B． C．-1 D．1 5．直线与曲线在第一象限围成的封闭图形面积为，则展开式中，的系数为　（ ） A．20 B．-20 C．5 D．-5 6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人最后一天走的路程为（ ）. A．24里 B．12里 C．6里. D．3里 7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则输入的值可以为 A． B． C． D． 8．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为（　　） A．40 B．43 C．46 D．47 9．中国古代的五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读，若甲乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则名同学所有可能的选择有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 10．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列的前55项和为( ) A．4072 B．2026 C．4096 D．2048 11．已知函数，设，，，则（ ） A． B． C． D． 12．已知函数在上都存在导函数，对于任意的实数都有，当时，，若，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．在等比数列中，，，成等差数列，则_______. 14．已知在平面直角坐标系中，，，，，动点满足不等式，，则的最大值为________. 15．在 中，内角 所对的边分别为 ,已知，且，则面积的最大值为________． 16．四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，异面直线AC与PD所成的角的余弦值为，则四棱锥外接球的表面积为________________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）设的三内角、、的对边长分别为、、，已知、、成等比数列，且. （I）求角的大小； （Ⅱ）设向量，，当取最小值时，判断的形状. 18．（本小题满分12分）在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，. （1）求证：； （2）设为的中点，点在线段上，若直线平面，求的长； （3）求二面角的余弦值. 19．（本小题满分12分）由中央电视台综合频道（）和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课.每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到青年观众的喜爱，为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了、两个地区的100名观众，得到如下的列联表，已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众是地区当中“非常满意”的观众的概率为0.35. 非常满意 满意 合计 30 15 合计 （1）现从100名观众中用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取“非常满意”的、地区的人数各是多少. 0.0