第四章 4.3 指数函数与对数函数的关系（课件+课时作业）-2020年【精讲精练】高中新课标辅导数学（人教B版，必修第二册）

eq \a\vs4\al(§4.3) 　指数函数与对数函数的关系 1.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)等于 A.log2x　　　 B.x　　　 D.2x－2　　　 C.log 解析　依题意y＝ax过点(1，2)，[来源:学.科.网] ∴a＝2，即f(x)＝log2x，故选A. 答案　A 2.当a＞1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝－loga x的图像是图中的 解析　∵y＝x＝－logax.的反函数为y＝log 又a＞1，故它们的图像关于y＝x对称且都是减函数，故选D. 答案　D 3.若函数y＝f(x)的反函数为f－1(x)＝ln＋1，则f(2)的值等于 A.1 B.e C.1＋ln D.e2 解析　∵f－1(e2)＝ln＋1＝2， ∴f(2)＝e2，故选D. 答案　D 4.已知函数f(x)的反函数为g(x)＝1＋2lg x(x＞0)，则f(1)＋g(1)＝________. 解析　∵y＝g(x)＝1＋2lg x(x＞0)， ∴lg x＝(y－1)， (y－1)，x＝10 ∴y＝g(x)的反函数为y＝f(x)＝10(x－1)， ∴f(1)＋g(1)＝100＋(1＋2lg 1)＝2. 答案　2 5.已知函数y＝ax＋2与函数y＝3x＋b的图像关于直线y＝x对称，则a，b的值分别为________. 解析　由y＝ax＋2对调x和y，解得y＝， x－ 依题意得.即 答案　；－6 6.(1)求函数y＝log2(x2－5x＋6)的单调区间； (2)已知loga(2a＋1)<loga3a<0(a>0且a≠1)，求a的取值范围. 解析　(1)设u＝x2－5x＋6， 由x2－5x＋6>0，得x>3或x<2， ∴函数的定义域为(－∞，2)∪(3，＋∞). 又y＝log2u在其定义域内为增函数， 且u＝x2－5x＋6在(－∞，2)上为减函数， 在(3，＋∞)上为增函数， ∴函数y＝log2(x2－5x＋6)在(－∞，2)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数. 即函数的单调减区间为(－∞，2)，单调增区间为(3，＋∞). (2)当a>1时，原不等式可化为 解得∴此时a无解； 当0<a<1时，原不等式可化为 解得<a<1.∴ 综上，a的取值范围为. 7.已知f(x)是函数y＝log2x的反函数，则y＝f(1－x)的图像是 解析　由于f(x)是函数y＝log2x的反函数， 故f(x)＝2x，∴y＝f(1－x)＝21－x， 当x＝0时，y＝2，故选C. 答案　C 8.设a，b，c均为正数，且2a＝log＝log2c，则b，＝loga， A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 解析　由2a＝loga>0， a知log 故0<a<1，∴1<2a<2， 即1<log， <a<a<2，∴ 同理可得，c>1， <b< 故a<b<c. 答案　A 9.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝，f－1(x)是f(x)的反函数，那么f－1(－9)的值为________. 解析　当x>0时，－x<0， f(－x)＝＝3x， ∴当x>0时，f(x)＝－3x，[来源:学科网] 由－3x＝－9得3x＝9，∴x＝2， ∴f－1(－9)＝2. 答案　2 10.已知函数f(x)＝的图像与函数g(x)的图像关于直线y＝x对称，令h(x)＝g(1－|x|)，则关于h(x)有下列命题： ①h(x)的图像关于原点对称； ②h(x)为偶函数； ③h(x)的最小值为0. 其中正确命题的序号为________.(将你认为正确的命题的序号都填上) 解析　g(x)＝logx， ∴h(x)＝log(1－|x|)(－1＜x＜1)， ∴h(x)是偶函数，②正确. ∵0＜1－|x|≤1，∴h(x)min≥0， 故③正确. 答案　②③ 11.已知函数f(x)＝loga(2－x)，(a＞1). (1)求函数f(x)的定义域、值域； (2)求函数f(x)的反函数f－1(x)；[来源:学科网] (3)判断f－1(x)的单调性. 解析　(1)要使函数f(x)有意义，需满足2－x＞0， 即x＜2，故原函数的定义域为(－∞，2)，值域为R. (2)由y＝loga(2－x)对调x和y得，2－y＝ax， 即y＝2－ax. ∴f－1(x)＝2－ax(x∈R). (3)f－1(x)在R上是减函数. 证明如下：任取x1，x2∈R且x1＜x2， 则f－1(x2)－f－1(x1)＝2－ －2＋ ＝ － . ∵a＞1，x1＜x2，∴ ＜ 即 － ＜0， ∴f－1(x2)＜f－1(x1)， ∴y＝f－1(x)在R上是减函数. 12.设方程2x＋x－3＝0的根为a，方程log2x＋x－3＝0的根为b，求a＋b的值. 解