第18章 重点突破：勾股定理、平行四边形综合应用-简单数学之2019-2020学年八年级下册同步讲练（人教版）

第18章 重点突破：勾股定理、平行四边形综合应用 考点1：勾股定理的常规应用 典例：在□ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF. （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB． 方法或规律点拨 本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键． 巩固练习 1．如图，DE是平行四边形ABCD中的∠ADC的平分线，EF∥AD，交DC于F. （1）求证：四边形AEFD是菱形； （2）如果∠A=60度，AD=5，求菱形AEFD的面积. 2．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AB=1，BC=． （1）求平行四边形ABCD的面积S□ABCD； （2）求对角线BD的长． 3．如图,P为正方形ABCD的边BC上一动点(P与B． C不重合)，点Q在CD边上，且BP=CQ，连接AP、BQ交于点E，将△BQC沿BQ所在直线对折得到△BQN，延长QN交BA的延长线于点M. (1)求证：AP⊥BQ； (2)若AB=3，BP=2PC，求QM的长； (3)当BP=m，PC=n时，求AM的长。 4．如图，在中，、分别是、的中点，，垂足为；，垂足为，与相交于点. （1）证明：； （2）若，求四边形的对角线的长. 5．如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB、BC于点E、F、G，连接ED、DG． （1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由； （2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，ED＝2，求GC的长． 考点2：利用勾股（逆）定理证明线段的数量关系 典例：在正方形中，点是对角线上的动点（与点不重合），连接． （1）将射线绕点顺时针旋转45°，交直线于点． ①依题意补全图1； ②小研通过观察、实验，发现线段，，存在以下数量关系： 与的平方和等于的平方．小研把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成证明该猜想的几种想法： 想法1：将线段绕点逆时针旋转90°，得到线段，要证的关系，只需证的关系． 想法2：将沿翻折，得到，要证的关系，只需证的关系． … 请你参考上面的想法，用等式表示线段的数量关系并证明；（一种方法即可） （2）如图2，若将直线绕点顺时针旋转135°，交直线于点．小研完成作图后，发现直线上存在三条线段（不添加辅助线）满足：其中两条线段的平方和等于第三条线段的平方，请直接用等式表示这三条线段的数量关系． 方法或规律点拨 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键． 巩固练习 1．（2019·江西初二期末）（探究与证明） 在正方形ABCD中，G是射线AC上一动点（不与点A、C重合），连BG，作BH⊥BG，且使BH＝BG，连GH、CH． （1）若G在AC上（如图1），则：①图中与△ABG全等的三角形是　 　． ②线段AG、CG、GH之间的数量关系是　 　． （2）若G在AC的延长线上（如图2），那么线段AG、CG、BG之间有怎样的数量关系？写出结论并给出证明； （应用）（3）如图3，G在正方形ABCD的对角线CA的延长线上，以BG为边作正方形BGMN，若AG＝2，AD＝4，请直接写出正方形BGMN的面积． 2．（2018·成都市实验外国语学校（西区）初二月考）已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC． （1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1）. ①设AB的长为a，PB的长为b（b<a），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积； ②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长. （2）如图2，若PA2+PC2=2PB2，请说明点P必在对角线AC上. 3．（问题解决） 一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3．你能求出∠APB的度数吗？ 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数； 思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接PP′，求出∠APB的度数． 请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程． （类比探究） 如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA=3，PB=1，PC=，求∠APB的度数． 考点3：折叠问题中勾股定理的应用 典例：（2019·青岛西海岸新区滨海初级中学初三单元测试）如图，在矩形中，点为上一点，将沿翻折后点恰好落在边上的点处，过作于，交