选修4－5　不等式选讲：2021版高考理科数学（人教A版）一轮复习（课件+教师用书+高效演练分层突破） (共6份打包)

第1讲　绝对值不等式 一、知识梳理 1．绝对值三角不等式 定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立． 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立． 2．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集 不等式 a>0 a＝0 a<0 |x|<a {x|－a<x<a} ∅ ∅ |x|>a {x|x>a或x<－a} {x|x∈R且x≠0} R (2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c． 3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想． 法二：利用“零点分区间法”求解，体现了分类讨论的思想． 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 常用结论 1．两个等价关系 (1)|x|<a⇔－a<x<a(a>0)． (2)|x|>a⇔x<－a或x>a(a>0)． 2．掌握一组主要关系 |a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|，|a|＋|b|之间的关系： (1)|a＋b|≥|a|－|b|，当且仅当a>－b>0时，等号成立． (2)|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立． 二、习题改编 1．(选修4­5P20习题T7改编)不等式3≤|5－2x|<9的解集为________． 解析：由题意得 即 解得 所以不等式的解集为(－2，1]∪[4，7)． 答案：(－2，1]∪[4，7) 2．(选修4­5P20习题T8改编)不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是________． 解析：①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，所以－4<2，不等式恒成立，所以x≤1； ②当1<x<5时，原不等式可化为x－1－(5－x)<2，所以x<4，所以1<x<4； ③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立． 综上，原不等式的解集为{x|x<4}． 答案：{x|x<4} 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若|x|>c的解集为R，则c≤0.(　　) (2)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.(　　) (3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a>b>0时等号成立．(　　) (4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立．(　　) (5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ 二、易错纠偏 (1)含参数的绝对值不等式讨论不清； (2)存在性问题不能转化为最值问题求解． 1．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________． 解析：因为|kx－4|≤2，所以－2≤kx－4≤2，所以2≤kx≤6.因为不等式的解集为{x|1≤x≤3}，所以k＝2. 答案：2 2．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________． 解析：由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3， 所以|x＋1|＋|x－2|的最小值为3.要使原不等式有解，只需|a|≥3，则a≥3或a≤－3. 答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞) 　　　　　　含绝对值不等式的解法(师生共研) (2019·高考全国卷Ⅱ)已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|·(x－a)． (1)当a＝1时，求不等式f(x)<0的解集； (2)若x∈(－∞，1)时，f(x)<0，求a的取值范围． 【解】　(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)． 当x<1时，f(x)＝－2(x－1)2<0； 当x≥1时，f(x)≥0. 所以，不等式f(x)<0的解集为(－∞，1)． (2)因为f(a)＝0，所以a≥1. 当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)<0. 所以，a的取值范围是[1，＋∞)． eq \a\vs4\al() 绝对值不等式常见的3种解法 (1)零点分段讨论法 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段讨论法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)，一般步骤如下： ①令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根； ②将这些根按从小到大排序，它们把实数集分为若干