第十一章 11.3 11.3.2 直线与平面平行-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第四册教师用书（人教B版2019）

11.3.2　直线与平面平行 [学习目标]　1.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题.2.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行. 导语 为了美化城市，许多城市实施“景观工程”，对现有平顶房进行“平改坡”，将平顶改成尖顶，并铺上彩色瓦片. 如图，工人们在施工时，是如何确保尖顶屋脊EF与平顶ABCD平行的呢？ 一、直线与平面平行的判定定理 问题1　如图将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在的平面有什么样的位置关系？该如何判定直线与平面平行呢？ 提示　封面边缘AB所在直线平行于桌面所在的平面，由翻动过程中，封面另一边缘始终在桌面所在平面内，故可知：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. 知识梳理 文字语言 如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行 符号语言 l⊄α，m⊂α，l∥m⇒l∥α 图形语言 注意点： (1)判定定理简记为：线线平行⇒线面平行. (2)定理中的三个条件缺一不可，特别要注意直线l不在平面α内. 角度1　中位线 例1(课本例1)　已知在空间四边形ABCD中，E，F分别是边AB，AD的中点.求证：EF∥平面BCD. 证明　如图所示，连接BD. 在△ABD中，因为E，F分别是AB，AD的中点，所以由三角形的中位线定理可知EF∥BD. 又因为EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD， 所以由线面平行的判定定理可知EF∥平面BCD. 例1　如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M为PB的中点.求证：PD∥平面MAC. 证明　如图所示，连接BD交AC于点O，连接MO， 则MO为△BDP的中位线， ∴PD∥MO. ∵PD⊄平面MAC， MO⊂平面MAC， ∴PD∥平面MAC. 反思感悟　利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、空间平行线的传递性等. 角度2　平行四边形 例2　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点.求证：EF∥平面BDD1B1. 证明　取D1B1的中点O， 连接OF，OB(图略). ∵OF∥B1C1， BE∥B1C1且OF=B1C1， BE=B1C1， ∴OF∥BE且OF=BE， ∴四边形OFEB是平行四边形，∴EF∥BO. ∵EF⊄平面BDD1B1， BO⊂平面BDD1B1， ∴EF∥平面BDD1B1. 二、直线与平面平行的性质定理 问题2　已知直线a与平面α平行，则直线a与平面α内的任一直线b有哪些位置关系？在什么条件下a与b平行？ 提示　平行或异面.当a与b不异面，即在同一个平面内时平行. 知识梳理 文字语言 如果一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就与两平面的交线平行 符号语言 l∥α，l⊂β，α∩β=m⇒l∥m 图形语言 注意点： 性质定理简记为：线面平行⇒线线平行.该定理是证明两直线平行的重要方法. 例3(课本例2)　如图所示，已知三棱锥A-BCD中，E，F分别是边AB，AD的中点，过EF的平面截三棱锥得到的截面为EFHG.求证：EF∥GH. 证明　在△ABD中，因为E，F分别是AB，AD的中点，所以由三角形的中位线定理可知EF∥BD. 又因为EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，所以由线面平行的判定定理可知EF∥平面BCD. 又因为EF⊂平面EFHG，平面EFHG∩平面BCD=GH， 所以由线面平行的性质定理可知EF∥GH. 例3　如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：四边形MNPQ是平行四边形. 证明　因为AB∥平面MNPQ， 平面ABC∩平面MNPQ=MN， 且AB⊂平面ABC， 所以由线面平行的性质定理知，AB∥MN. 同理AB∥PQ， 所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP. 所以四边形MNPQ是平行四边形. 延伸探究　 1.若本例条件不变，求证：=. 证明　由例3知PQ∥AB，∴=. 又QM∥DC，∴=，∴=. 2.若本例中添加条件：AB⊥CD，AB=10，CD=8，且BP∶PD=1∶1，求四边形MNPQ的面积. 解　由例3知，四边形MNPQ是平行四边形， ∵AB⊥CD，∴PQ⊥QM， ∴四边形MNPQ是矩形. 又BP∶PD=1∶1，∴PQ=5，QM=4， ∴四边形MNPQ的面积为5×4=20. 反思感悟　(1)利用线面平行的性质定理解题的步骤 (2)运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行. 跟踪训练1　如图，在五面体EF-ABCD中，已知四边形ABCD为梯形，AD∥BC，求证：AD∥EF. 证明　∵AD∥BC，AD⊄平面BCEF，BC⊂平面BCEF， ∴AD∥平面BCEF， ∵AD⊂平面ADEF， 平面ADEF∩平面BCEF=EF， ∴AD∥EF. 三、线面平行的综合应用 例4　如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PBC∩平面PAD=l. (1)求证：l∥BC； (2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论. (1)证明　因为BC∥AD，BC⊄平面PAD， AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD. 又因为平面PBC∩平面PAD=l，且BC⊂平面PBC， 所以BC∥l. (2)解　平行.证明如下： 如图，取PD的中点E，连接AE，NE， 可以证得NE∥AM且 NE=AM， 所以四边形MNEA是平行四边形， 所以MN∥AE. 又因为AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD， 所以MN∥平面PAD. 反思感悟　判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称它为平行链，如下： 线线平行线面平行线线平行. 跟踪训练2　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH. 求证：GH∥平面PAD. 证明　如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O是AC的中点， 又M是PC的中点，∴PA∥MO， 而PA⊄平面BDM，OM⊂平面BDM， ∴PA∥平面BDM， 又∵PA⊂平面PAHG，平面PAHG∩平面BDM=GH，∴PA∥GH. 又PA⊂平面PAD，GH⊄平面PAD， ∴GH∥平面PAD. 1.知识清单： (1)直线与平面平行的判定定理. (2)直线与平面平行的性质定理. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：证明线面平行时漏写线在平面外(内). 1.如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块矩形木板绕AB转动，在转动的过程中，AB的对边CD与平面α的位置关系是(　　) A.平行 B.相交 C.在平面α内 D.平行或在平面α内 答案　D 解析　在旋转过程中，始终有CD∥AB，所以CD∥α或CD⊂α，故选D. 2.如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则(　　) A.GH∥SA B.GH∥SD C.GH∥SC D.以上均有可能 答案　B 解析　因为GH∥平面SCD， GH⊂平面SBD， 平面SBD∩平面SCD=SD， 所以GH∥SD，又SD与SA，SC都相交， 所以GH与SA，SC均不平行，故选B. 3.如图，已知平面α∩β=CD，α∩γ=EF，β∩γ=AB，若AB∥α，则CD与EF的位置关系是(　　) A.平行 B.相交 C.异面 D.无法确定 答案　A 解析　由AB∥α，α∩γ=EF， AB⊂γ得AB∥EF， 因为EF⊄平面β，AB⊂平面β， 所以EF∥平面β， 又因为α∩β=CD，EF⊂平面α， 所以CD∥EF. 4.如图，在五面体FE-ABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是　　　　.  答案　平行 解析　∵M，N分别是BF，BC的中点， ∴MN∥FC， ∵四边形CDEF是矩形， ∴FC∥ED，∴MN∥ED， 又ED⊂平面ADE， MN⊄平面ADE， ∴MN∥平面ADE. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.下列条件中能得出直线m与平面α平行的是(　　) A.直线m与平面α内所有直线平行 B.直线m与平面α内无数条直线平行 C.直线m与平面α没有公共点 D.直线m与平面α内的一条直线平行 答案　C 解析　A，本身说法错误；B，当直线m在平面α内时，m与α内无数条直线平行，但m与α不平行；C，能推出直线m与平面α平行；D，当直线m在平面α内时，m与α内的一条直线平行，但m与α不平行. 2.已知直线l∥平面α，点P∈平面α，那么过点P且平行于直线l的直线(　　) A.有无数条，仅有一条在平面α内 B.只有一条，且不在平面α内 C.有无数条，均不在平面α内 D.只有一条，且在平面α内 答案　D 解析　过直线l与点P的平面有且只有一个，记该平面为β.因为平面α与β相交于点P，所以平面α与β有唯一一条交线，设为a，又l∥α，所以l∥a.即过点P平行于直线l的直线只有一条. 3.如图所示，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若==，则与平面EFGH平行的直线有(　　) A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 答案　C 解析　因为=，所以EF∥AB， 又EF⊂平面EFGH，AB⊄平面EFGH， 所以AB∥平面EFGH. 同理，由=可得FG∥CD， 又FG⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH， 所以CD∥平面EFGH， 所以与平面EFGH平行的直线有2条. 4.设m，n是两条不同的直线，α是平面，则下列命题中正确的是(　　) A.若m∥α，n∥α，则m∥n B.若m∥α，n⊂α，则m∥n C.若m∥n，n∥α，则m∥α D.若m∥n，m⊄α，n⊂α，则m∥α 答案　D 解析　对于A，m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，A错误； 对于B，m∥α，n⊂α，则m与n平行或异面，故B错误； 对于C，m有可能在平面α内，故C错误，故选D. 5.在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q均为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　　) 答案　A 解析　对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行的判定定理可知B不满足题意；对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行的判定定理可知C不满足题意；对于选项D，由于AB∥NQ，结合线面平行的判定定理可知D不满足题意，故选A. 6.(多选)如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，则下列说法中正确的是(　　) A.OM∥PD B.OM∥平面PCD C.OM∥平面PDA D.OM∥平面PBA 答案　ABC 解析　因为矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点.在△PBD中，M是PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，所以OM∥PD，又OM⊄平面PCD，且OM⊄平面PDA，PD⊂平面PCD，且PD⊂平面PDA，所以OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为M∈PB，所以OM与平面PBA相交. 7.(5分)如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α=E，AD∩α=F，BD∩α=H，BC∩α=G，则四边形EFHG的形状是　　　　.  答案　平行四边形 解析　∵AB∥α，平面ABC∩α=EG， AB⊂平面ABC， ∴EG∥AB. 同理FH∥AB，∴EG∥FH. 又CD∥α，平面BCD∩α=GH，CD⊂平面BCD， ∴GH∥CD，同理EF∥CD， ∴GH∥EF， ∴四边形EFHG是平行四边形. 8.(5分)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1，O分别为上、下底面的中心，在直线D1D，A1D，BO1，O1D中，与平面AB1C平行的直线有　　　　.  答案　A1D，O1D 解析　如图所示，连接OB1，O1B1，OD. 因为A1B1綉CD，所以四边形A1B1CD为平行四边形，所以A1D∥B1C.因为A1D⊄平面AB1C，B1C⊂平面AB1C，所以A1D∥平面AB1C. 因为OD綉O1B1， 所以四边形O1DOB1为平行四边形， 所以O1D∥OB1， 又O1D⊄平面AB1C，OB1⊂平面AB1C， 所以O1D∥平面AB1C. 9.(10分)如图，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形. 证明　∵四边形ABCD为矩形， ∴BC∥AD. ∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD， ∴BC∥平面PAD. ∵平面BCFE∩平面PAD=EF， BC⊂平面BCFE，∴BC∥EF. ∵AD=BC，AD≠EF，∴BC≠EF， ∴四边形BCFE是梯形. 10.(12分)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，若D是棱CC1的中点，E是棱AB的中点，证明：DE∥平面AB1C1. 证明　如图，取AB1的中点H，连接EH，HC1.∵E为棱AB的中点，H是AB1的中点， ∴EH∥BB1且EH=BB1. 又∵D为棱CC1的中点， ∴DC1=CC1， 又BB1∥CC1且BB1=CC1， ∴EH∥DC1且EH=DC1， ∴四边形EHC1D为平行四边形，∴DE∥HC1. 又∵HC1⊂平面AB1C1，DE⊄平面AB1C1， ∴DE∥平面AB1C1. 11.已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a⊂β，α∩β=b，则“a∥α”是“a∥b”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　若a∥α，则由a⊂β，α∩β=b，得a∥b.若a∥b，则由题意可知a⊄α，b⊂α，∴a∥α. 12.已知E，F，G，H分别为四面体ABCD的棱AB，BC，DA，CD上的点，且AE=EB，BF=FC，CH=2HD，AG=2GD，则下列说法错误的是(　　) A.AC∥平面EFHG B.EF∥GH C.直线EG，FH，BD相交于同一点 D.BD∥平面EFHG 答案　D 解析　如图所示. ∵AE=EB，BF=FC， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥AC且EF=AC. 又∵EF⊂平面EFHG，AC⊄平面EFHG， ∴AC∥平面EFHG，故A正确； ∵CH=2HD，AG=2GD， ∴GH∥AC且GH=AC，又EF∥AC， ∴EF∥GH，故B正确； 由EF∥GH，EF=AC，GH=AC，得四边形EFHG是梯形， ∴直线FH，EG相交，设其交点为M， ∴M∈EG，M∈平面ABD，M∈FH， M∈平面BCD， 则M是平面ABD和平面BCD的公共点，又平面ABD∩平面BCD=BD，∴M∈BD， 即直线EG，FH，BD相交于同一点，故C正确； ∵AE=EB，AG=2GD， ∴直线BD与EG必相交，又EG⊂平面EFHG， ∴BD与平面EFHG相交，故D错误. 13.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，E是A1C1上的一点，且A1B∥平面B1DE，则的值为(　　) A. B. C.1 D.2 答案　B 解析　如图，连接BC1交B1D于点F，连接EF，则平面A1BC1∩平面B1DE=EF. 因为A1B∥平面B1DE， A1B⊂平面A1BC1， 所以A1B∥EF，所以=. 因为BC∥B1C1， 所以△BDF∽△C1B1F，所以=. 因为D是BC的中点， 所以=，所以==. 14.(5分)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，当点P满足条件　　　　　　时，A1P∥平面BCD(填一个满足题意的条件即可).  答案　P是CC1的中点(答案不唯一) 解析　如图，取CC1的中点P，连接A1P， ∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动， ∴当点P满足条件P是CC1的中点时，A1P∥CD， ∵A1P⊄平面BCD，CD⊂平面BCD， ∴当点P满足条件P是CC1的中点时， A1P∥平面BCD. 15.(5分)如图，已知四边形EFGH是四面体ABCD的一个截面，且截面为平行四边形. (1)AB与平面EFGH的位置关系是　　　　，CD与平面EFGH的位置关系是　　　　；(填“平行”或“相交”)  (2)若AB=4，CD=6，则四边形EFGH周长的取值范围为　　　　.  答案　(1)平行　平行　(2)(8，12) 解析　(1)因为四边形EFGH是平行四边形， 所以EF∥GH. 因为GH⊂平面ABD，EF⊄平面ABD， 所以EF∥平面ABD. 又因为EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC=AB， 所以EF∥AB. 因为AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH， 所以AB∥平面EFGH. 同理可得CD∥平面EFGH. (2)设EF=x(0<x<4)，则由(1)得EF∥AB， 所以==.同理，由FG∥CD得 ====1-. 从而FG=6-x， 所以平行四边形EFGH的周长l=2=12-x.又因为0<x<4，所以8<l<12. 所以四边形EFGH的周长的取值范围是(8，12). 16.(12分)如图，E为平行四边形ABCD所在平面外一点，P是线段CD的中点，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE？若存在，指出点M的位置，并证明你的结论. 解　存在点M，如图，当点M是线段AE的中点时，PM∥平面BCE. 证明如下：取BE的中点N，连接CN，MN， 则MN∥AB且MN=AB， 又PC∥AB且PC=AB，所以MN∥PC且MN=PC， 所以四边形MNCP为平行四边形， 所以PM∥CN. 因为PM⊄平面BCE， CN⊂平面BCE， 所以PM∥平面BCE. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一章 <<< 直线与平面平行 11.3.2 1.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题. 2.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行. 学习目标 为了美化城市，许多城市实施“景观工程”，对现有平顶房进行“平改坡”，将平顶改成尖顶，并铺上彩色瓦片. 如图，工人们在施工时，是如何确保尖顶屋脊EF与平顶ABCD平行的呢？ 导 语 一、直线与平面平行的判定定理 二、直线与平面平行的性质定理 课时对点练 三、线面平行的综合应用 内容索引 随堂演练 一 直线与平面平行的判定定理 提示　封面边缘AB所在直线平行于桌面所在的平面，由翻动过程中，封面另一边缘始终在桌面所在平面内，故可知：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. 如图将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在的平面有什么样的位置关系？该如何判定直线与平面平行呢？ 问题1 文字语言 如果平面外的一条直线与 ，那么这条直线与这个平面平行 符号语言 l⊄α，m⊂α，l∥m⇒l∥α 图形语言   平面内的一条直线平行 知识梳理 如果空间中(1)判定定理简记为：线线平行⇒线面平行. (2)定理中的三个条件缺一不可，特别要注意直线l不在平面α内. 两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 注 意 点 <<< 8 (课本例1)已知在空间四边形ABCD中，E，F分别是边AB，AD的中点.求证：EF∥平面BCD. 例 1 角度1　中位线 9 如图所示，连接BD. 在△ABD中，因为E，F分别是AB，AD的中点， 所以由三角形的中位线定理可知EF∥BD. 又因为EF ⊄平面BCD，BD⊂平面BCD， 所以由线面平行的判定定理可知EF∥平面BCD. 10 如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M为PB的中点.求证：PD∥平面MAC. 例 1 角度1　中位线 如图所示，连接BD交AC于点O，连接MO， 则MO为△BDP的中位线， ∴PD∥MO. ∵PD⊄平面MAC， MO⊂平面MAC， ∴PD∥平面MAC. 11 反 思 感 悟 利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、空间平行线的传递性等. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点.求证：EF∥平面BDD1B1. 例 2 角度2　平行四边形 13 取D1B1的中点O， 连接OF，OB(图略). ∵OF∥B1C1， BE∥B1C1且OF=B1C1， BE=B1C1， ∴OF∥BE且OF=BE， ∴四边形OFEB是平行四边形，∴EF∥BO. ∵EF⊄平面BDD1B1， BO⊂平面BDD1B1， ∴EF∥平面BDD1B1. 14 二 直线与平面平行的性质定理 提示　平行或异面.当a与b不异面，即在同一个平面内时平行. 已知直线a与平面α平行，则直线a与平面α内的任一直线b有哪些位置关系？在什么条件下a与b平行？ 问题2 文字语言 如果一条直线与一个平面 ，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就与两平面的________ 符号语言 l∥α， ⇒l∥m 图形语言   平行 交线平行 l⊂β，α∩β=m 知识梳理 性质定理简记为：线面平行⇒线线平行.该定理是证明两直线平行的重要方法. 注 意 点 <<< 18 (课本例2)如图所示，已知三棱锥A-BCD中，E，F分别是边AB，AD的中点，过EF的平面截三棱锥得到的截面为EFHG.求证：EF∥GH 例 3 在△ABD中，因为E，F分别是AB，AD的中点，所以由三角形的中位线定理可知EF∥BD. 又因为EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，所以由线面平行的判定定理可知EF∥平面BCD. 又因为EF⊂平面EFHG，平面EFHG∩平面BCD=GH， 所以由线面平行的性质定理可知EF∥GH. 19 如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：四边形MNPQ是平行四边形. 例 3 因为AB∥平面MNPQ， 平面ABC∩平面MNPQ=MN， 且AB⊂平面ABC， 所以由线面平行的性质定理知，AB∥MN. 同理AB∥PQ， 所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP. 所以四边形MNPQ是平行四边形. 20 1.若本例条件不变，求证：=. 延伸探究 由例3知PQ∥AB，∴=. 又QM∥DC，∴=，∴=. 21 2.若本例中添加条件：AB⊥CD，AB=10，CD=8，且BP∶PD=1∶1，求四边形MNPQ的面积. 由例3知，四边形MNPQ是平行四边形， ∵AB⊥CD，∴PQ⊥QM， ∴四边形MNPQ是矩形. 又BP∶PD=1∶1，∴PQ=5，QM=4， ∴四边形MNPQ的面积为5×4=20. 22 反 思 感 悟 (1)利用线面平行的性质定理解题的步骤 (2)运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行. 如图，在五面体EF-ABCD中，已知四边形ABCD为梯形，AD∥BC，求证：AD∥EF. 跟踪训练 1 ∵AD∥BC，AD⊄平面BCEF，BC⊂平面BCEF， ∴AD∥平面BCEF， ∵AD⊂平面ADEF， 平面ADEF∩平面BCEF=EF， ∴AD∥EF. 24 三 线面平行的综合应用 如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PBC∩平面PAD=l. (1)求证：l∥BC； 例 4 因为BC∥AD，BC⊄平面PAD， AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD. 又因为平面PBC∩平面PAD=l，且BC⊂平面PBC， 所以BC∥l. 26 (2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论. 平行.证明如下： 如图，取PD的中点E，连接AE，NE，  可以证得NE∥AM且 NE=AM， 所以四边形MNEA是平行四边形， 所以MN∥AE. 又因为AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD， 所以MN∥平面PAD. 27 反 思 感 悟 判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称它为平行链，如下： 线线平行 线面平行 线线平行. 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH. 求证：GH∥平面PAD. 跟踪训练 2 29 如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O是AC的中点， 又M是PC的中点，∴PA∥MO， 而PA⊄平面BDM，OM⊂平面BDM， ∴PA∥平面BDM， 又∵PA⊂平面PAHG，平面PAHG∩平面BDM=GH，∴PA∥GH. 又PA⊂平面PAD，GH⊄平面PAD， ∴GH∥平面PAD. 30 1.知识清单： (1)直线与平面平行的判定定理. (2)直线与平面平行的性质定理. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：证明线面平行时漏写线在平面外(内). 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块矩形木板绕AB转动，在转动的过程中，AB的对边CD与平面α的位置关系是  A.平行 B.相交 C.在平面α内 D.平行或在平面α内 √ 在旋转过程中，始终有CD∥AB，所以CD∥α或CD⊂α，故选D. 1 2 3 4 2.如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则 A.GH∥SA B.GH∥SD C.GH∥SC D.以上均有可能 √ 因为GH∥平面SCD， GH⊂平面SBD， 平面SBD∩平面SCD=SD， 所以GH∥SD，又SD与SA，SC都相交， 所以GH与SA，SC均不平行，故选B. 3.如图，已知平面α∩β=CD，α∩γ=EF，β∩γ=AB，若AB∥α，则CD与EF的位置关系是 A.平行 B.相交 C.异面 D.无法确定 1 2 3 4 √ 由AB∥α，α∩γ=EF， AB⊂γ得AB∥EF， 因为EF⊄平面β，AB⊂平面β， 所以EF∥平面β， 又因为α∩β=CD，EF⊂平面α， 所以CD∥EF. 1 2 3 4 4.如图，在五面体FE-ABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是　　　　.  平行 ∵M，N分别是BF，BC的中点， ∴MN∥FC， ∵四边形CDEF是矩形， ∴FC∥ED，∴MN∥ED， 又ED⊂平面ADE， MN⊄平面ADE， ∴MN∥平面ADE. 课时对点练 五 2 答案 1 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C D C D A ABC 题号 8 11 12 13 14 　15 答案 A D B P是CC1的中点(答案不唯一) (1)平行　平行　 (2)(8，12) 对一对 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. ∵四边形ABCD为矩形， ∴BC∥AD. ∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD， ∴BC∥平面PAD. ∵平面BCFE∩平面PAD=EF，BC⊂平面BCFE， ∴BC∥EF. ∵AD=BC，AD≠EF， ∴BC≠EF， ∴四边形BCFE是梯形. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 如图，取AB1的中点H，连接EH，HC1. ∵E为棱AB的中点，H是AB1的中点， ∴EH∥BB1且EH=BB1. 又∵D为棱CC1的中点， ∴DC1=CC1， 又BB1∥CC1且BB1=CC1， ∴EH∥DC1且EH=DC1， 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. ∴四边形EHC1D为平行四边形， ∴DE∥HC1. 又∵HC1⊂平面AB1C1，DE⊄平面AB1C1， ∴DE∥平面AB1C1. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 存在点M，如图，当点M是线段AE的中点时，PM∥平面BCE. 证明如下：取BE的中点N，连接CN，MN， 则MN∥AB且MN=AB， 又PC∥AB且PC=AB， 所以MN∥PC且MN=PC， 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 所以四边形MNCP为平行四边形， 所以PM∥CN. 因为PM⊄平面BCE， CN⊂平面BCE， 所以PM∥平面BCE. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.下列条件中能得出直线m与平面α平行的是 A.直线m与平面α内所有直线平行 B.直线m与平面α内无数条直线平行 C.直线m与平面α没有公共点 D.直线m与平面α内的一条直线平行 √ A，本身说法错误； B，当直线m在平面α内时，m与α内无数条直线平行，但m与α不平行； C，能推出直线m与平面α平行； D，当直线m在平面α内时，m与α内的一条直线平行，但m与α不平行. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知直线l∥平面α，点P∈平面α，那么过点P且平行于直线l的直线 A.有无数条，仅有一条在平面α内 B.只有一条，且不在平面α内 C.有无数条，均不在平面α内 D.只有一条，且在平面α内 过直线l与点P的平面有且只有一个，记该平面为β.因为平面α与β相交于点P，所以平面α与β有唯一一条交线，设为a，又l∥α，所以l∥a.即过点P平行于直线l的直线只有一条. √ 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.如图所示，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若==，则与平面EFGH平行的直线有 A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 √ 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为=，所以EF∥AB， 又EF⊂平面EFGH，AB⊄平面EFGH， 所以AB∥平面EFGH. 同理，由=可得FG∥CD， 又FG⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH， 所以CD∥平面EFGH， 所以与平面EFGH平行的直线有2条. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.设m，n是两条不同的直线，α是平面，则下列命题中正确的是 A.若m∥α，n∥α，则m∥n B.若m∥α，n⊂α，则m∥n C.若m∥n，n∥α，则m∥α D.若m∥n，m⊄α，n⊂α，则m∥α 对于A，m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，A错误； 对于B，m∥α，n⊂α，则m与n平行或异面，故B错误； 对于C，m有可能在平面α内，故C错误，故选D. √ 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q均为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是 √ 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行的判定定理可知B不满足题意； 对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行的判定定理可知C不满足题意； 对于选项D，由于AB∥NQ，结合线面平行的判定定理可知D不满足题意，故选A. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，则下列说法中正确的是 A.OM∥PD B.OM∥平面PCD C.OM∥平面PDA D.OM∥平面PBA √ √ √ 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点.在△PBD中，M是PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，所以OM∥PD，又OM⊄平面PCD，且OM⊄平面PDA，PD⊂平面PCD，且PD⊂平面PDA， 所以OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为M∈PB，所以OM与平面PBA相交. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α=E，AD∩α=F，BD∩α=H，BC∩α=G，则四边形EFHG的形状是 　　　.  平行四边形 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵AB∥α，平面ABC∩α=EG， AB⊂平面ABC， ∴EG∥AB. 同理FH∥AB，∴EG∥FH. 又CD∥α，平面BCD∩α=GH，CD⊂平面BCD， ∴GH∥CD，同理EF∥CD， ∴GH∥EF， ∴四边形EFHG是平行四边形. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1，O分别为上、下底面的中心，在直线D1D，A1D，BO1，O1D中，与平面AB1C平行的直线有 　　　 　.  2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，连接OB1，O1B1，OD. 因为A1B1綉CD，所以四边形A1B1CD为平行四边形，所以A1D∥B1C.因为A1D⊄平面AB1C，B1C⊂平面AB1C，所以A1D∥平面AB1C. 因为OD綉O1B1， 所以四边形O1DOB1为平行四边形， 所以O1D∥OB1， 又O1D⊄平面AB1C，OB1⊂平面AB1C， 所以O1D∥平面AB1C. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.如图，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵四边形ABCD为矩形， ∴BC∥AD. ∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD， ∴BC∥平面PAD. ∵平面BCFE∩平面PAD=EF，BC⊂平面BCFE， ∴BC∥EF. ∵AD=BC，AD≠EF，∴BC≠EF， ∴四边形BCFE是梯形. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，若D是棱CC1的中点，E是棱AB的中点，证明：DE∥平面AB1C1. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，取AB1的中点H，连接EH，HC1.∵E为棱AB的中点，H是AB1的中点， ∴EH∥BB1且EH=BB1. 又∵D为棱CC1的中点， ∴DC1=CC1， 又BB1∥CC1且BB1=CC1， ∴EH∥DC1且EH=DC1， ∴四边形EHC1D为平行四边形，∴DE∥HC1. 又∵HC1⊂平面AB1C1，DE⊄平面AB1C1， ∴DE∥平面AB1C1. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a⊂β，α∩β=b，则“a∥α”是“a∥b”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 综合运用 √ 若a∥α，则由a⊂β，α∩β=b，得a∥b.若a∥b，则由题意可知a⊄α，b⊂α，∴a∥α. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知E，F，G，H分别为四面体ABCD的棱AB，BC，DA，CD上的点，且AE=EB，BF=FC，CH=2HD，AG=2GD，则下列说法错误的是 A.AC∥平面EFHG B.EF∥GH C.直线EG，FH，BD相交于同一点 D.BD∥平面EFHG √ 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示. ∵AE=EB，BF=FC， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥AC且EF=AC. 又∵EF⊂平面EFHG，AC⊄平面EFHG， ∴AC∥平面EFHG，故A正确； ∵CH=2HD，AG=2GD， ∴GH∥AC且GH=AC，又EF∥AC， ∴EF∥GH，故B正确； 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由EF∥GH，EF=AC，GH=AC，得四边形EFHG是梯形， ∴直线FH，EG相交，设其交点为M， ∴M∈EG，M∈平面ABD，M∈FH，M∈平面BCD， 则M是平面ABD和平面BCD的公共点，又平面ABD∩平面BCD=BD，∴M∈BD， 即直线EG，FH，BD相交于同一点，故C正确； ∵AE=EB，AG=2GD， ∴直线BD与EG必相交，又EG⊂平面EFHG， ∴BD与平面EFHG相交，故D错误. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，E是A1C1上的一点，且A1B∥平面B1DE，则的值为  A. B. C.1 D.2 √ 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，连接BC1交B1D于点F，连接EF，则平面A1BC1∩平面B1DE=EF. 因为A1B∥平面B1DE， A1B⊂平面A1BC1， 所以A1B∥EF，所以=. 因为BC∥B1C1， 所以△BDF∽△C1B1F，所以=. 因为D是BC的中点， 所以===. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，当点P满足条件　　　　 　　时，A1P∥平面BCD(填一个满足题意的条件即可).  P是CC1的中点(答案不唯一) 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，取CC1的中点P，连接A1P， ∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动， ∴当点P满足条件P是CC1的中点时，A1P∥CD， ∵A1P⊄平面BCD，CD⊂平面BCD， ∴当点P满足条件P是CC1的中点时， A1P∥平面BCD. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.如图，已知四边形EFGH是四面体ABCD的一个截面，且截面为平行四边形. (1)AB与平面EFGH的位置关系是　　　　，CD与平面EFGH的位置关系是　　　　；(填“平行”或“相交”)  拓广探究 平行 平行 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为四边形EFGH是平行四边形， 所以EF∥GH. 因为GH⊂平面ABD，EF⊄平面ABD， 所以EF∥平面ABD. 又因为EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC=AB， 所以EF∥AB. 因为AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH， 所以AB∥平面EFGH. 同理可得CD∥平面EFGH. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设EF=x(0<x<4)，则由(1)得EF∥AB， 所以==.同理，由FG∥CD 得====1-. 从而FG=6-x， 所以平行四边形EFGH的周长l=2=12-x. 又因为0<x<4，所以8<l<12. 所以四边形EFGH的周长的取值范围是(8，12). (2)若AB=4，CD=6，则四边形EFGH周长的取值范围为　　　　.  (8，12) 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图，E为平行四边形ABCD所在平面外一点，P是线段CD的中点，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE？若存在，指出点M的位置，并证明你的结论. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 存在点M，如图，当点M是线段AE的中点时，PM∥平面BCE. 证明如下：取BE的中点N，连接CN，MN， 则MN∥AB且MN=AB， 又PC∥AB且PC=AB，所以MN∥PC且MN=PC， 所以四边形MNCP为平行四边形， 所以PM∥CN. 因为PM⊄平面BCE， CN⊂平面BCE， 所以PM∥平面BCE. 2 答案 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第一章 <<< $$