选修4－4　坐标系与参数方程：2021版高考理科数学（人教A版）一轮复习（课件+教师用书+高效演练分层突破） (共6份打包)

第1讲　坐标系 一、知识梳理 1．坐标系 (1)伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点(λx，μy)，称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换． (2)极坐标系 在平面内取一个定点O叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． 设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)． 2．直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)， 则 3．直线的极坐标方程 若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 4．圆的极坐标方程 若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则该圆的方程为： ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0. 常用结论 几种简单曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ<2π) 圆心为(r，0)，半径为r的圆 ρ＝2rcos θ(－)≤θ< 圆心为(r，)，半径为r的圆 ρ＝2rsin θ(0≤θ<π) 过极点，倾斜角为α的直线 (1)θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)， (2)θ＝α和θ＝π＋α 过点(a，0)，与极轴垂直的直线 ρcos θ＝a (－)<θ< 过点(a，)，与极轴平行的直线 ρsin θ＝a (0<θ<π) 二、习题改编 1．(选修4­4P15习题T3改编)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　) A．ρ＝，0≤θ≤ B．ρ＝，0≤θ≤ C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ 解析：选A.y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为ρsin θ＝1－ρcos θ，即ρ＝.故选A.，由0≤x≤1，得0≤y≤1，所以θ∈ 2．(选修4­4P15习题T4改编)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是________． 解析：法一：由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为. 法二：由ρ＝－2sin θ＝2cos.，知圆心的极坐标为 答案： 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．(　　) (2)若点P的直角坐标为(1，－.(　　))，则点P的一个极坐标是 (3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．(　　) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 二、易错纠偏 (1)极坐标与直角坐标的互化致误； (2)求极坐标方程不会结合图形求解致误． 1．在极坐标系中，已知点P，则过点P且平行于极轴的直线方程是(　　) A．ρsin θ＝1　　　　　　 B．ρsin θ＝ C．ρcos θ＝1 D．ρcos θ＝ 解析：选A.先将极坐标化成直角坐标表示，P，1)且平行于x轴的直线为y＝1，再化为极坐标为ρsin θ＝1.，1)，过点(＝1，即(，y＝ρsin θ＝2sin ＝转化为直角坐标为x＝ρcos θ＝2cos 2．在极坐标系中A两点间的距离为________．，B 解析： 法一(数形结合)：在极坐标系中，A，B两点如图所示，|AB|＝|OA|＋|OB|＝6. 法二：因为A)．)，B(－2，2的直角坐标为A(1，－，B 所以|AB|＝＝6. 答案：6 　　　　　　平面直角坐标系中的伸缩变换(自主练透) 1．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形． (1)5x＋2y＝0； (2)x2＋y2＝1. 解：伸缩变换则 (1)若5x＋2y＝0，则5(2x′)＋2(3y′)＝0，所以5x＋2y＝0经过伸缩变换后的方程为5x′＋3y′＝0，为一条直线． (2)若x2＋y2＝1，则(2x′)2＋(3y′)2＝1，则x2＋y2＝1经过伸缩变换后的方程为4x′2＋9y′2＝1，为椭圆． 2．求双曲线C：x2－变换后所得曲线C′的焦点坐标．＝1经过φ： 解：设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)， 由得