数学-学科网2020年3月高三第一次在线大联考（北京卷）（含考试版、全解全析）

学科网2020年3月高三第一次在线大联考（北京卷） 数学 全解全析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C C B B D C C C D 1．A 【解析】因为，所以，其对应的点为(1，3)，位于第一象限．故选A． 2．C 【解析】因为，，所以，所以，故选C． 3．C 【解析】由题可得，即，解得，所以函数的定义域为，故选C． 4．B 【解析】对于A，的定义域为，是偶函数，但在上单调递减，不符合题意；对于B，的定义域为，是偶函数，在上单调递增，符合题意；对于C，的定义域为，是奇函数，不符合题意；对于D，的定义域为，不是偶函数，不符合题意．故选B． 5．B 【解析】若表示双曲线，需，即，所以“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件，故选B． 6．D 【解析】因为圆的圆心在直线上，所以可设，又圆与轴的正半轴相切于点，所以圆的半径，．因为点到直线的距离等于，所以，解得或，所以或，因为点在直线的左上方，所以，，，所以圆的标准方程为，故选D． 7．C 【解析】由题可得函数的定义域为，因为，所以函数是奇函数，排除选项A、B；又，所以当时，函数单调递减，排除选项D，故选C． 8．C 【解析】由图象及点，可知，即，因为，所以，所以，所以，所以．因为，所以，所以，结合，可得．故选C． 9．C 【解析】根据三视图可知该三棱锥的直观图如下图所示，其中，平面，，，易知，，互相垂直，设该三棱锥的外接球的半径为，则，即，所以该三棱锥外接球的表面积为，故选C． 10．D 【解析】假设甲预测正确，则乙和丁预测正确，丙预测不正确，与题意不符，故甲预测不正确．若乙预测不正确，则丙和丁预测正确，有效的药物可能是和，和，和，但与乙预测不正确矛盾，故乙预测正确，则丙和丁中恰有一人预测正确．若丙预测正确，则丁也预测正确，与丙和丁中有一人预测正确矛盾，所以丙预测不正确、丁预测正确，则有效的药物只能是和．故选D． 11． 【解析】由可得，解得，故，所以，所以． 12．（也可以写成） 【解析】依题意，矩形面积，设黑色部分的面积为，根据几何概型的知识，得，故黑色区域的面积的估计值为． 13．， 【解析】因为抛物线过点，所以，解得，设，因为点在抛物线上，且点到抛物线的焦点的距离等于，所以，解得，所以，所以． 14． 【解析】由题意得，当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，． 所以，所以． 15．①②③ 【解析】①根据复合函数同增异减的性质，可知函数在上单调递减，在上单调递增，故①正确；②令，则函数的图象与直线有两个交点，根据函数的图象可知，故②正确；③，当时，，此时单调递减，故③正确；④当时，，所以 （当且仅当即x=0时取等号），所以函数的最大值为，故④不正确． 综上，命题正确的序号为①②③． 16．（本小题满分14分） 【解析】（1）在中，， 所以，（2分） 即， 由正弦定理可得，（4分） 所以，又因为，所以．（7分） （2）①由三角形的面积公式得，所以，（9分） 由（1）可得，即，所以， 所以，（12分） 故的周长为．（14分） ②由题意知，，所以，（9分） 由（1）可得，即，所以，（12分） 所以面积．（14分） 17．（本小题满分14分） 【解析】（1）如图，取AP的中点E，连接BE、EM． ∵M是PD的中点，∴，EM∥AD，（2分） 又，BC∥AD，所以EM=BC，EM∥BC， ∴四边形BCME为平行四边形，∴CM∥BE，（4分） 又平面PAB，平面PAB， ∴CM∥平面PAB．（6分） （2）由题意知PA，AB，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知，， ∴，∴，，（8分） 设平面MAC的法向量为， 则由，得，令，则， ∴为平面MAC的一个法向量． ∵PA⊥底面ABCD，∴可取平面ACD的一个法向量为，（12分） ∴． 由图可知二面角为锐角， ∴二面角的余弦值为．（14分） 18．（本小题满分14分） 【解析】（1）由题可知A市的100个样本中，有个中低消费家庭，（2分） 则从A市的100个样本中任选一个家庭，此家庭属于中低消费家庭的概率．（5分） （2）从A市的100个样本中选一个家庭，记为a；从B市的100个样本中选一个家庭，记为b， 设a的消费档次不低于b的消费档次为事件，（6分） 则，（8分） 所以估计甲的消费档次不低于乙的消费档次的概率约为．（10分） （3）B市的家庭年均家电消费额的方差较大．（14分） 理由如下：从表中数据可知，在A市的100个样本与B市的100个样本中，B市的样本分布较为分散， 所以B市的家庭年均家电消费额的方差较大． 19．（本小题满分14分） 【解析】（1）因为椭圆的右顶点为，所以，（2分）