2021版数学（文科）攻略大一轮复习课标版（课件+2020新题考点集训）：专题十五 不等式选讲 (共2份打包)

专题十五　不等式选讲 高考文数 考点一　含绝对值不等式的解法 考点清单 考向基础 1.|ax+b|≤c,|ax+b|≥c型不等式的解法 (1)若c>0,则|ax+b|≤c等价于-c≤ax+b≤c,|ax+b|≥c等价于ax+b≥c或ax+b≤ -c,然后根据a,b的值解出即可. (2)若c<0,则|ax+b|≤c的解集为⌀,|ax+b|≥c的解集为R. 2.|x-a|+|x-b|≥c(c>0),|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法 (1)零点分区间法 零点分区间法的一般步骤: ①令每个绝对值符号内的代数式为零,并求出相应的根; ②将这些根按从小到大的顺序排列,把实数集分为若干个区间; ③在所分区间内去掉绝对值符号得若干个不等式,解这些不等式,求出解 集; ④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集. (2)利用绝对值的几何意义求解 由于|x-a|+|x-b|与|x-a|-|x-b|分别表示数轴上与x表示的数对应的点到a,b表示 的数对应的点的距离之和与距离之差,因此对形如|x-a|+|x-b|<c(c>0)或|x-a|- |x-b|>c(c>0)的不等式,利用绝对值的几何意义求解更直观. 3.|f(x)|>g(x),|f(x)|<g(x)(g(x)>0)型不等式的解法 (1)|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x). (2)|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x). 考向　含绝对值不等式的解法 考向突破 例1    (2018河北邯郸一模,23)已知函数f(x)=|x-4|+|x-1|-3. (1)求不等式f(x)≤2的解集; (2)若直线y=kx-2与函数f(x)的图象有公共点,求k的取值范围. 解析　(1)由f(x)≤2,得 或 或 解得0≤x≤5, 故不等式f(x)≤2的解集为[0,5]. (2)f(x)=|x-4|+|x-1|-3=  作出函数f(x)的图象,如图所示,   直线y=kx-2过定点C(0,-2), 当此直线经过点B(4,0)时,k= ; 当此直线与直线AD平行时,k=-2. 故由图可知,k∈(-∞,-2)∪ . 考向基础 1.绝对值三角不等式 定理1:若a,b为实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立. 定理2:若a,b,c为实数,则|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)=0时,等号成立. 推论1:||a|-|b||≤|a+b|; 推论2:||a|-|b||≤|a-b|. 2.基本不等式 当a>0,b>0时,a+b≥2 (当且仅当a=b时取“=”). 考点二　不等式的证明 考向　不等式的证明 考向突破 例2    (2018百校联盟TOP20三月联考,23)已知函数f(x)=|2x-3|+|2x-1|的最小 值为M. (1)若m,n∈[-M,M],求证:2|m+n|≤|4+mn|; (2)若a,b∈(0,+∞),a+2b=M,求 + 的最小值. 解析　(1)证明:∵f(x)=|2x-3|+|2x-1|≥|2x-3-(2x-1)|=2,∴M=2. 要证明2|m+n|≤|4+mn|,只需证明4(m+n)2≤(4+mn)2, ∵4(m+n)2-(4+mn)2=4(m2+2mn+n2)-(16+8mn+m2n2)=(m2-4)(4-n2), ∵m,n∈[-2,2], ∴m2,n2∈[0,4], ∴(m2-4)(4-n2)≤0, ∴4(m+n)2-(4+mn)2≤0, ∴4(m+n)2≤(4+mn)2, 可得2|m+n|≤|4+mn|. (2)由(1)得,a+2b=2, ∵a,b∈(0,+∞), ∴ + =  (a+2b)=  ≥  =4, 当且仅当a=1,b= 时,等号成立. ∴ + 的最小值为4. 方法1　含绝对值不等式的解法 解法一:利用绝对值不等式的几何意义求解. 解法二:利用“零点分段法”求解. 解法三:通过构造函数,利用函数的图象求解. 方法技巧 例1    (2018东北三省三校第一次模拟,23)已知不等式|2x-5|+|2x+1|>ax-1. (1)当a=1时,求不等式的解集; (2)若不等式的解集为R,求a的取值范围.   (1)利用零点分段法解不等式; (2)利用数形结合法求出直线的斜率,从而求得a的取值范围. 解题导引    解析　(1)令f(x)=|2x-5|+|2x+1|, 则f(x)=|2x-5|+|2x+1|=  因为a=1,所以当x≤- 时,由-4x+4>x-1,解得x<1,所以x≤- ; 当- <x≤ 时,由6>x-1,解得x<7,所以- <x≤ ; 当x> 时,由4x-4>x-1,解得x>1,所以x> . 综上,所求不等式的解集为R. (2)由(1)作函数f(x)的图象,点A