专题01 分离变换法-备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全

备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全第一篇 专题一 分离变换法 一、分离变换法： 分离变换是解决方程、不等式有解，不等式恒成立最常用的方法，根据分离对象的不同可分为分离常数法、分离整式法、分离参数法及分离函数法。 二、方法详解 （一）分离常数法 　　分离常数法是研究分式形式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有，，， 等.解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数. 【例】已知a>0，设函数f(x)＝(x∈[－a，a])的最大值为M，最小值为N，那么M＋N＝(　　) A．2 016 B．2 018 C．4 032 D．4 034 【例】若对任意实数x恒有，求实数a的取值范围. 【类题展示】 1、已知正实数x，y满足＋2x＋y＝4，则x＋y的最小值为________． 2、若不等式对任意实数x恒成立，求a的取值范围。 （二）分离整式法 形如的函数可通过分离整式后利用基本不等式求最值。 【例】若函数在有零点，求a的取值范围. 【类题展示】 1、函数y＝的值域为________。 2、已知关于x的方程有解，试确定参数a的取值范围。 （三）分离参数法 若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，即分离参数法。基本步骤为： 第一步 首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式 的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 第二步 先求出含变量一边的式子的最值； 第三步 由此推出参数的取值范围即可得出结论. 分离参数法有以下几种类型： I.常规法分离参数 所谓常规法分离参数，就是通过解不等式或解方程把参数解出来，再研究分离出来的函数的值域或最值，从而求出参数取值范围。 例、若函数f(x)＝x3－tx2＋3x在区间[1,4]上单调递减，则实数t的取值范围是(　　) A. B．(－∞，3] C. D．[3，＋∞) 【例】设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围． 【例】已知函数H(x)＝－λ，若对任意x∈[1，＋∞)，不等式H(x)≤0，求实数λ的取值范围． 【类题展示】 1、已知不等式2x＋m＋>0对一切x∈(1，＋∞)恒成立，则实数m的取值范围是________． 2、设其中，如果时，恒有意义，求的取值范围。 II.倒数法分离参数 对于用常规法能分离参数，得，但如果有零点， 则函数有铅锤渐近线，对于学生来说， 就不容易求出函数的值域，怎么办？此时应该注意到如果恒成立， 则对于，可这样分离，求函数的值域就容易多了（因为其图象是连续的曲线）。这种分离参数的方法， 我们就称为倒数法分离参数。 【例】设． (1) 求函数的单调区间；(2)若函数有两个零点，且，求实数的取值范围； 【类题展示】已知a是实数，函数，如果函数在上有零点，求实数a的取值范围。 III.分类法分离参数 对于形如的不等式如果的符号不确定，要分离参数，需要根据的符号分类讨论。 【例】若对于任意实数x≥0，函数f(x)＝ex＋ax恒大于零，则实数a的取值范围是________。 【类题展示】当时，不等式恒成立，求x的范围。 IV.换元法分离参数 有时参数含在复合函数中，直接分离行不通，可通过换元，再分离参数。 【例】已知不等式在区间上恒成立，求实数a的取值范围。 【类题展示】已知，若，则a的取值范围 （四）分离函数法 我们可以发现，常规法分离参数，倒数法分离参数，换元法分离参数，分类法分离参数，确实可以回避对参数的分类讨论。这些方法其实是一种很自然的方法，我们一旦接触、领悟，定会豁然开朗，便会形成一种条件反射。当然，针对某些具体题型，分离参数法并不一定是最简单的方法，如一次函数、二次函数背景的命题，可能利用它们自身的函数性质解题会更简单。 但是我们有时也会遇到这样一种情形，即分离参数后的函数，非常复杂，极不容易研究出它的性质， 那么该怎么办？ 分离函数法便大有用武之地！ 分离函数法既可解决含参数的函数问题，也可解决不含参数的函数问题，其关键在于对方程、不等式的整理，整理时要敢于尝试，大胆变形，使得分离出的两个函数重新作差（称为差值函数）后，容易研究出差值函数的性质；或分离出的两个函数容易分别研究出它们的性质；这样减轻了研究复杂函数的压力，也可以减轻对参数分类讨论的难度（甚至不讨论） . 含参数时，也称不完全分离参数法， 或称半分离参数法．我们可以统称为分离函数法. 需要强调的是，其实命题者在得到