专题02 直接讨论法-备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全

备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全第一篇 专题二 直接讨论法 一、问题指引 　　所谓直接讨论法，就是对题中给定的函数，直接求导，通过对参数的分类讨论，确定函数的单调性，从而求出参数取值范围. 二、方法详解 (一)步骤 (1)首先可以把含参不等式整理成适当形式如、等； (2)从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值； (3)得出结论. （二）不等式类型与最值的关系 （三）题型归纳 类型一、直接构造函数，导函数的零点在不在定义域内引起的分类讨论， 【例1】已知常数a≠0，f(x)＝＋2x. (1)当a＝－4时，求f(x)的极值； (2)当f(x)的最小值不小于－a时，求实数a的取值范围． 【类题展示】已知函数f(x)＝m(x－1)ex＋x2(m∈R)． (1)若m＝－1，求函数f(x)的单调区间； (2)若对任意的x<0，不等式x2＋(m＋2)x>f′(x)恒成立，求m的取值范围． 类型二：直接构造形如的二次函数，根据对称轴与给定区间的位置关系进行讨论 【例2】已知函数f(x)＝x3－ax2＋10。 (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程。 (2)在区间[1,2]内至少存在一个实数x，使得f(x)<0成立，求实数a的取值范围。 【例3】若x∈[－2,2]时，不等式x2＋ax＋3－a≥0恒成立，求实数a的取值范围． 【类题展示】已知函数f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，若，求a的取值范围． 类型三：直接构造函数，导函数两个极值点的大小引起分类讨论 【例4】设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2. (1)求a，b，c，d的值； (2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围． 【例5】【山东省济宁市2020届高三模拟】已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若不等式时恒成立，求的取值范围． 【类题展示】【东北三省三校2020届高三模拟】已知函数，. （Ⅰ）求证：曲线与在处的切线重合； （Ⅱ）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 类型四、直接构造函数，参数取值引起的分类讨论 【例6】设函数f(x)＝ax2－a－，g(x)＝－，其中a∈R，e＝2.718…为自然对数的底数。 (1)讨论f(x)的单调性。 (2)证明：当x>1时，g(x)>0。 (3)确定a的所有可能取值，使得f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立。 类型五、直接构造函数，二次项系数引起的分类讨论 【例7】已知函数f(x)＝ (1)试求曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程； (2)若x>1，试判断方程f(x)＝(x－1)(ax－a＋1)的解的个数． 【类题展示】设函数f(x)＝mx2－－1。若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围。 类型六、直接构造函数，无需讨论， 对于一些不等式证明、不等式恒成立、函数图象关系的问题，可以通过直接构造函数进行求解，无需分情况讨论。 【例8】(2020届高三唐山市高三模拟)已知f(x)＝(1－x)ex－1. (1)求函数f(x)的最大值； (2)设g(x)＝，x>－1，且x≠0，证明：g(x)<1. 【例9】已知函数f(x)＝－ (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)证明：当x>1时，f(x)<x－1； (3)确定实数k的所有可能取值，使得存在x0>1，当x∈(1，x0)时，恒有f(x)>k(x－1)． 【例10】已知函数f(x)＝. (1)讨论函数y＝f(x)在x∈(m，＋∞)上的单调性； (2)若m∈，则当x∈[m，m＋1]时，函数y＝f(x)的图象是否总在函数g(x)＝x2＋x图象上方？请写出判断过程． 【类题展示】设函数f(x)＝ax＋2，g(x)＝a2x2－＋2，其中a∈R，x>0. (1)若a＝2，求曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程； (2)是否存在负数a，使f(x)≤g(x)对一切正数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 三、跟踪训练 1、已知函数f(x)=+ax2-2x,（a∈R,a≠0） (1)若函数f(x)的图象在x=1处的切线与x轴平行,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)≤ax在x∈[,+∞)上恒成立,求a的取值范围. 2、设函数f(x)＝(x＋a)，g(x)＝.已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0平行． (1)求a的值； (2)是否存在自然数k，使得方程f(x)＝g(x)在(k，k＋1)内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由； (3)设函数m(x)＝min{f(x)，g(x)