专题05 洛必达法则-备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全

备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全第一篇 专题五 洛必达法则 一、问题指引 “洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法（避免分类讨论）解决成立、或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数（最）值，若出现型或型可以考虑使用洛必达法则。 二、方法详解 法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； (2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； (3)， 那么 =。 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； (2)，f(x) 和g(x)在与上可导，且g'(x)≠0； (3)， 那么 =。 法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； (2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； (3)， 那么 =。 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，，洛必达法则也成立。 2.洛必达法则可处理，，，，，，型。 3.在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。 4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 【典例分析】 一题多解：常规解法与洛必达法则相互对比： 【例1】已知函数，曲线在点处的切线方程为. （Ⅰ）求、的值； （Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围. 【例2】(2010年全国新课标理)设函数。 （1） 若，求的单调区间； （2） 若当时，求的取值范围 【类题展示1】已知函数，曲线在点处的切线方程为。 （Ⅰ）求、的值； （Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。 【类题展示2】设函数. （Ⅰ）证明：当时，； （Ⅱ）设当时，，求的取值范围. 【类题展示3】设函数． （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围． 三、跟踪训练 1.已知函数.当时，，求的取值范围. 2.已知函数f（x）=ex﹣e﹣x﹣2x． （Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值； （Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）． 3. 已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1． （1）用a表示出b，c；（2）若f（x）≥在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围． 4、设函数，曲线恒与轴相切于坐标原点。（1）求常数的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：恒成立 5.【2020安徽省江淮十校第三次联考】已知函数，. （1）对任意的，成立，求实数的取值范围； （2）若，证明：. 4 / 4 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全第一篇 专题五 洛必达法则 一、问题指引 “洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法（避免分类讨论）解决成立、或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数（最）值，若出现型或型可以考虑使用洛必达法则。 二、方法详解 法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； (2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； (3)， 那么 =。 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； (2)，f(x) 和g(x)在与上可导，且g'(x)≠0； (3)， 那么 =。 法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； (2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； (3)， 那么 =。 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，，洛必达法则也成立。 2.洛必达法则可处理，，，，，，型。 3.在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。 4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 【典例分析】 一、一题多解：常规解法与洛必达法则相互对比： 【例1】已知函数，曲线在点处的切线方程为. （Ⅰ）求、的值； （Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围. 法一：常规解法 （Ⅰ）略解得，.