专题07 与二次型有关的恒成立与有解问题-备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全

备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全第二篇 专题七 与二次型有关的恒成立与有解问题 一、问题指引 形如的函数称为二次型函数，与二次型函数有关的恒成立或有解问题一般利用二次函数的性质求解. 二、方法详解 (一)一元二次不等式在R上的恒成立或有解问题 对于二次函数有： 1.上恒成立； 2.上恒成立. 基本题型： 【例】（2020·贵州高三期末（理））若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【类题展示】（2019·上海市高一期中）若关于x的不等式的解集为，则k的范围为____________． 【类题展示】 若一元二次不等式2kx2＋－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　) A．(－3,0] B．[－3,0) C．[－3,0] D．(－3,0) 【类题展示】若函数的定义域为一切实数，则实数的取值范围为____________． (二) 一元二次不等式在给定区间上的恒成立或有解问题 设 （1）当时，上恒成立 上恒成立 （2）当时，上恒成立 上恒成立 类型一：构造二次函数分类讨论 【例】设函数f(x)＝mx2－－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围． 【类题展示】已知不等式mx2－2x－m＋1<0，是否存在实数m对所有的实数x，使不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 类型二：分离参数法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围．利用分离参数法来确定不等式（，为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤： （1）将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式； （2）求在上的最大（或最小）值； （3）解不等式(或) ，得的取值范围． 【例】（2020·吉林吉化第一高级中学校高二期末）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为______. 【类题展示】（2019·江苏淮阴中学高一期中）已知，若不等式对任意实数恒成立，则实数a的取值范围是________. 类型三：主参换位——反客为主法 【例】（2020·上海中学高一期中）已知二次函数，若在区间内至少存在一个实数使，则实数的取值范围是__________. 【类题展示】已知函数若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是 ． 【类题展示】对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围． (三) 恒成立问题 形如的不等式恒成立问题，可设，转化为一元二次不等式，但要注意的范围. 【例】（2019·湖南茶陵三中高一期中）函数是R上的奇函数，m、n是常数. （1）求m，n的值； （2）判断的单调性并证明； （3）不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围. 【类题展示】若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是 . 【类题展示】设，若函数在上的最大值是3，则其在上的最小值是（ ） A．2 B．1 C．0 D． （四）、其它类型： 对于二次函数有： （1）； （2）； （3）恒成立（注：若的最小值不存在，则恒成立的下界大于0）；恒成立（注：若的最大值不存在，则恒成立的上界小于0）． 【例】（2019·河北高一期中）不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为_________. 【例】（2019·甘肃高二期末（理））若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 ． 【类题展示】【2019天津市和平区高三第二次质量调查】若不等式对任意实数都成立,则实数的最大值为________. 三、跟踪训练 1、（2020·福建厦门高二月考（理））已知函数在区间上是增函数,实数的取值范围为(　 　) A． B． C． D． 2．己知，，恒成立，则实数a的取值范围为　　 A． B． C． D． 3、若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4、已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，当x∈[－1,1]时，f(x)>0恒成立，则b的取值范围是(　　) A．－1<b<0 B．b>2 C．b<－1或b>2 D．不能确定 5．已知，，若对任意,或，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．【河南省郑州市2019年高三第二次质量检测】已知平面向量满足，，，若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．【江西省宜丰中学2019届高三第二次月考】在上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为 (