专题08 与零点有关的恒成立问题-备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全

备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全第二篇 专题八 与零点有关的恒成立问题 一、问题指引 　　已知含有同一个参数，若对任意，恒成立，求参数范围，应充分利用的变号零点. 二、方法详解 （一）“符号法”数形结合处理型不等式恒成立 【例1】 若关于x的不等式对任意的x＞0恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【变式1】两个一次函数满足f(x)g(x)≤0在以m为端点的区间上恒成立，则且单调性相反 若不等式对任意恒成立（其中），则实数的取值范围是 ． 【变式2】一次函数与二次函数满足恒成立，则抛物线和直线在轴上交于同一个点且两侧单调性相同． 已知时，均有，则实数的值为 ． 【类题展示】已知时，均有，则实数的值是 ． (二)若均为多项式函数，解决恒成立问题，可通过因式分解或利用判别式求解。 【例1】若时 恒成立，求的取值范围. 【类题展示】 (三) 若均为单调函数，解决恒成立问题，可根据有相同零点（或无零点） 【例2】 【类题展示】不等式对任意正整数均成立，则实数的取值范围___ 三、跟踪训练 1. 【安徽省蚌埠市2020届高三年级教学质量检查】函数，，若对，均有，则实数a的最小值为　　 A． B． C．1 D．e 2若，则a的取值范围是 3.若，则k的取值范围是 4. 【江苏省海安高级中学月考】对任意恒成立，其中、是整数，则的取值的集合为____． 5. 【上海市大同中学2018届三模】不等式对任意正整数恒成立，则实数取值范围是__________． 6. 　已知函数f(x)＝ex，当x∈[0，1]时，求证： (1)f(x)≥1＋x；(2)(1－x)f(x)≤1＋x. 2 / 2 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全第二篇 专题八 与零点有关的恒成立问题 一、问题指引 　　已知含有同一个参数，若对任意，恒成立，求参数范围，应充分利用的变号零点. 二、方法详解 （一）“符号法”数形结合处理型不等式恒成立 【例1】 若关于x的不等式对任意的x＞0恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【解析】对任意的x＞0恒成立，所以函数与在相同定义域内同号.令，则，解得，函数图像经过，所以函数图像也必过该点，则，所以，故实数a的取值范围是． 【评注】如果函数和在某个区间上满足，那么它们在该区间上应该是相互制约的，符号相同． 【变式1】两个一次函数满足f(x)g(x)≤0在以m为端点的区间上恒成立，则且单调性相反 若不等式对任意恒成立（其中），则实数的取值范围是 ． 【答案】{2} 【解析】当，恒成立，当，恒成立，所以，所以=2. 【变式2】一次函数与二次函数满足恒成立，则抛物线和直线在轴上交于同一个点且两侧单调性相同． 已知时，均有，则实数的值为 ． 【答案】0 【解析】直线过点，数形结合知二次函数图象也过点，故，此时，当时，时，符合条件． 【类题展示】已知时，均有，则实数的值是 ． 【答案】 【解析】易知，直线过点，所以抛物线必过点，所以，解得或(舍去)． (二)若均为多项式函数，解决恒成立问题，可通过因式分解或利用判别式求解。 【例1】若时 恒成立，求的取值范围. 【分析】通过因式分解求解. 【解析】，因为，所以恒成立，因为， 所以，即。所以的取值范围是。 【评注】若多项式为二次三项式，可考虑因式分解或利用判别式求解. 【类题展示】 【答案】 【解析】 (三) 若均为单调函数，解决恒成立问题，可根据有相同零点（或无零点） 【例2】 【分析】当时利用零点相同确定a的取值范围；当时利用与均无零点求解。 【答案】 【解析】 【类题展示】不等式对任意正整数均成立，则实数的取值范围___ 【答案】 【解析】由，得：，记. 则或；或； 或；或；当时，或. 所求范围为. 三、跟踪训练 1. 【安徽省蚌埠市2020届高三年级教学质量检查】函数，，若对，均有，则实数a的最小值为　　 A． B． C．1 D．e 【答案】C 【解析】由，得，设，，则直线过定点， 当时，，即，当时，，即， 当直线经过B时，，即， 当直线经过C时，，即， 由得， 设，过定点 则，，即过的切线斜率， 当时，，即， 当直线经过D时，，即， 当时，，即此时，要使对，均有，则，即，则，则此时，此时， 当时，，即此时，要使对，均有，则，即，则，则此时，此时要求且，此时无解， ③当时， ，则对，均有，但可取正值也可取负值，不满足对，均有， 综上满足条件的范围是，则实数的最小值为1，故选C． 2若，则a的取值范围是 【答案】 【解析】根据恒成立，可得有相同的零点，所以。 3.若，则k的取