专题09 与隐零点有关的恒成立问题-备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全

备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全第二篇 专题九 与隐零点有关的恒成立问题 一、问题指引 　　我们知道导函数的零点在很多时候是无法直接求解出来的，我们称之为“隐零点”(即能确定其存在，但又无法用显性的代数式进行表达)，基本解决思路是:形式上虚设，运算上代换，数值上估算，策略上等价转化，方法上分离函数(参数)，技巧上反客为主。 二、方法详解 一般是先用导数证明函数的单调性，然后利用零点存在性定理说明有零点，但这个零点又解不出来，故称为隐藏的零点，把它设出来，再去解决问题。 类型一：隐零点与参变量分离相结合 【例】（2020·宁夏银川一中高三月考（理））已知函数. （1）设实数（为自然对数的底数），求函数在上的最小值； （2）若为正整数，且对任意恒成立，求的最大值． 【类题展示】已知函数的图像在点(其中为自然对数的底数)处的切线斜率为3. （1）求实数的值； （2）若，且对任意恒成立，求的最大值； 类型二：隐零点与分类讨论相结合 【例】（2020·安徽六安一中高三月考（文））已知. （1）已知函数在点的切线与圆相切，求实数的值. （2）当时，，求实数的取值范围. 类型三：隐零点与探索问题相结合 【例】【河南省2020届高三期末】设， . （1）若，求的单调区间； （2）讨论在区间上的极值点个数； （3）是否存在，使得在区间上与轴相切？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由. 类型四：隐零点与恒成立、能成立相结合 【例】【湖南省浏阳一中、醴陵一中2018-2019学年联考】已知函数，其中 （1）求的单调区间 （2）若，且存在实数，使得对任意实数，恒有成立，求的最大值. 【类题展示】已知函数 若是函数的极值点，1是函数的一个零点，求的值； 当时，讨论函数的单调性； 若对任意，都存在，使得成立，求实数a的取值范围． 类型五、隐零点与不等式证明相结合 【例】【四川省泸州市2019届高三上学期第一次教学质量诊断】已知函数. （1）若是的导函数，讨论的单调性； （2）若（是自然对数的底数），求证：. 【类题展示】【湖北省荆州市2020届高三上学期质量检查】已知函数，. （1）若，求函数的单调区间； （2）若，求证：. 三、跟踪训练 1．（2020·福建省福州第一中学高三（理））设函数有两个极值点. 求实数的取值范围； 2．（2020·江西临川一中高二期中（理））设函数. （1）求函数的单调区间； （2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数的值. 3．（2020·山西高三月考（文））已知函数f（x）=2sinx－－x，f′（x）为f（x）的导数． （1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围． 4．（2019·江苏高三月考）设函数，. （1）若，求函数的单调区间； （2）若，且函数在区间内有两个极值点，求实数a的取值范围； （3）求证：对任意的正数a，都存在实数t，满足：对任意的，. 5．（2020·安徽六安一中高三月考（理））已知. （1）若函数在点的切线与圆相切，求实数的值. （2）已知，当时，求实数的取值范围. 6、【广东省百校联考2020届高三高考模拟】设函数. （1）求函数的单调区间； （2）若函数在上有零点，证明：. 7 . 已知函数. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）若对任意，，求的取值范围. 8．已知函数（其中是自然对数的底数，，）在点处的切线方程是. （I）求函数的单调区间； （II）设函数，若在上恒成立，求实数的取值范围. 9.已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）若，使得关于的不等式成立，求的最小值. 10.已知. （Ⅰ）若曲线与轴有唯一公共点，求的取值范围； （Ⅱ）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 1 / 5 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全第二篇 专题九 与隐零点有关的恒成立问题 一、问题指引 　　我们知道导函数的零点在很多时候是无法直接求解出来的，我们称之为“隐零点”(即能确定其存在，但又无法用显性的代数式进行表达)，基本解决思路是:形式上虚设，运算上代换，数值上估算，策略上等价转化，方法上分离函数(参数)，技巧上反客为主。 二、方法详解 一般是先用导数证明函数的单调性，然后利用零点存在性定理说明有零点，但这个零点又解不出来，故称为隐藏的零点，把它设出来，再去解决问题。 类型一：隐零点与参变量分离相结合 【例】（2020·宁夏银川一中高三月考（理））已知函数. （1）设实数（为自然对数的底数），求函数在上的最小值； （2）若为正整数，且对任意恒成立，求的最大值． 【答案】（1）；（2）3 【解析】 【分析】（1）求得函数