第七章 复数（课件+课时作业）-新教材高中数学必修第二册【优化指导】人教A版

7.1　复数的概念 7.1.1　数系的扩充和复数的概念 课程标准 学科素养 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程． 2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念． 3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件. 通过对数系的扩充和复数的概念的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”的核心素养. 知识点1　复数的有关概念 (1)复数 ①定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部. ②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi. (2)复数集 ①定义：全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集． ②表示：通常用大写字母C表示． [微思考] 1．思考辨析 (1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(　　)[来源:学科网] (2)若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数．(　　) (3)两个虚数不能比较大小．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√ 2．为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？[来源:Z,xx,k.Com] 提示　设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x2＋1＝0有解为i. 3．在下列数中，哪些是虚数？哪些是纯虚数？ 0,1＋i，πi，＋2i，－i，i. 提示　虚数是1＋i，πi，＋2i，－i，i；纯虚数是πi，i. 知识点2　复数相等 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d. [微体验] 1．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为(　　) A．－2　　　 B．　　　 C．－　　　 D．2 D　[2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，所以b＝2.] 2．已知(2m－5n)＋3i＝3n－(m＋5)i，m，n∈R，则m＋n＝_________. －10　[由复数相等的条件，得解得∴m＋n＝－10.] 知识点3　复数的分类及包含关系 (1)复数(a＋bi，a，b∈R) (2)集合表示： [微体验] 1．下列说法中正确的个数是(　　) ①实数是复数； ②虚数是复数； ③实数集和虚数集的交集不是空集； ④实数集和虚数集的并集是复数集．[来源:学科网] A．1 B．2 C．3 D．4 C　[实数、虚数都是复数；在a＋bi中，b＝0为实数，b≠0为虚数，∴实数集和虚数集的并集是复数集．即①②④正确．] 2．对于复数集C，实数集R，虚数集M，纯虚数集P，下列关系正确的是(　　) A．P∪R＝C B．(M∪R)C C．P∩M＝∅ D．M∪R＝C D　[根据复数的分类可知M∪R＝C．][来源:学。科。网Z。X。X。K] 探究一　复数的概念 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数． ①2＋3i；②－3＋i；③＋i；④π；⑤－i；⑥0. 解　①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为，是虚数；③的实部为，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数． [方法总结]　复数a＋bi中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部． [跟踪训练1]　符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由． (1)实部为－的虚数；(2)虚部为－的虚数； (3)虚部为－的纯虚数；(4)实部为－的纯虚数． 解　(1)存在且不唯一，如－＋i等；(2)存在且不唯一，如1－i等；(3)存在且唯一，即－i；(4)不存在，因为纯虚数的实部为0. 探究二　复数集、实数集、虚数集、纯虚数集的关系 已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)，求实数a分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 解　(1)当z为实数时，则 ∴ 故当a＝6时，z为实数． (2)当z为虚数时，则有 ∴∴a≠±1且a≠6， 故当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z为虚数． (3)当z为纯虚数时，则有∴ 故不存在实数a使z为纯虚数． [方法总结]　对于考查复数的分类问题，要紧紧抓住各概念特征属性，建立方程组(不等式组)来求解．同时要抓住一些隐含的制约条件，如分式的分母不能为零，对数的真数要非负等等． [跟踪训练2]　实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 解　(1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义即m－1≠0，解得m＝－3. (2)要使z是虚数，m需满足m2＋