类型三 二次函数与图形面积问题-2020年中考数学第二轮重难题型突破

类型三二次函数与图形面积问题 例1、如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标; （2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积; （3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由． 例2、如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线 经过A，B两点，抛物线的顶点为D． （1）求b,c的值； （2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由. 例3、如图,已知二次函数 的图象与 轴交于A、B两点，与 轴交于点P，顶点为C（1，－2）. （1）求此函数的关系式； （2）作点C关于 轴的对称点D，顺次连接A、C、B、D.若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由. 例4、如图，已知抛物线 的顶点坐标为Q ，且与 轴交于点C ，与 轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥ 轴，交AC于点D． (1)求该抛物线的函数关系式；(2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标； (3)在问题(2)的结论下，若点E在 轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 类型三 二次函数与图形面积问题 例1、如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标; （2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积; （3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由． 【解析】解：（1）令，得 解得 令，得 ∴ A B C （2）∵OA=OB=OC= ∴BAC=ACO=BCO= ∵AP∥CB， ∴PAB= 过点P作PE轴于E，则APE为等腰直角三角形 令OE=，则PE= ∴P ∵点P在抛物线上 ∴ 解得，（不合题意，舍去） ∴PE= ∴四边形ACBP的面积=AB•OC+AB•PE= (3)． 假设存在 ∵PAB=BAC = ∴PAAC ∵MG轴于点G， ∴MGA=PAC = 在Rt△AOC中，OA=OC= ∴AC= 在Rt△PAE中，AE=PE= ∴AP= 设M点的横坐标为，则M ①点M在轴左侧时，则 (ⅰ) 当AMG PCA时，有= ∵AG=，MG=即 解得（舍去） （舍去） (ⅱ) 当MAG PCA时有= 即 解得：（舍去） ∴M ② 点M在轴右侧时，则 (ⅰ) 当AMG PCA时有= ∵AG=，MG= ∴ 解得（舍去） ∴M (ⅱ) 当MAGPCA时有= 即 解得：（舍去） ∴M ∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似 M点的坐标为，， 例2、如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线 经过A，B两点，抛物线的顶点为D． （1）求b,c的值； （2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由. 【解析】解：（1）由已知得：A（-1，0） B（4，5） ∵二次函数 的图像经过点A（-1，0）B(4,5) ∴ 解得：b=-2 c=-3 （2）如２６题图：∵直线AB经过点A（-1，0） B(4,5) ∴直线AB的解析式为：y=x+1 ∵二次函数 ∴设点E(t， t+1),则F（t， ） ∴EF=